位能极小原理

luyuanhong

位能极小原理

数学经纬网 2022-03-08 22:10

被举到某一高度的重物，在下落的时候能够做功，也就是说，它具有位能。学过初中物理学的都知道，一个重量是 q 、被举到高度 h 的重物，它具有的位能是以乘积 qh 来度量的。我们看出，重物的位置越低，位能就越小。重物总要落到最低的位置；是由位能总要减到最小决定的。如果有一个小重物是挂在一条细绳上的，那么它在可能占据的一切位置中的最低位置时，位能最小。所以在说明切线定理时起决定性作用的命题（A），就是说在平衡状态下小重物一定在它所可能占据的一切位置中的最低位置上，这是和下面的命题意义相同的：

（U）在平衡状态下，小重物的位能达到最小值。

而命题（U）（因而（A）也一样）是关于平衡位置唯一性的命题（E）和下面的命题的推论：

（D）如果在某一个位置上，小重物的位能达到最小值，那么这个位置就是平衡位置。

为了由此推出（U），只要注意到，如果在平衡位置上位能不达到最小值，那么由（D'），还存在着另外一个跟位能最小值相适应的平衡位置；但是，这和命题（E）矛盾。

命题（D'）是一个一般力学原理的特殊情形，这个一般力学原理也叫做位能极小原理或狄利克雷原理（这个原理的论证可以参看前面提到过的柳斯捷尔尼克著的“最短线”一书第十三节）。狄利克雷原理的内容是：一个系统的位能达到最小值的那个位置是平衡位置。

如果平衡位置是唯一的，那么狄利克雷原理就有一个重要的推论：在平衡位置上，一个系统的位能达到最小值。

这个推论的结论和命题（U）的结论是类似的。



在以后，我们只讨论当平衡位置是唯一的情形（另外情形也是可能出现的，譬如，在上图画出了球的四个平衡位置）。

当然，为了解答切实问题并不一定要应用位能极小原理；小重物在一切可能位置中占据最低位置这个事实本身是很明显的。然而在另外的情形，当我们讨论的不是一个而是几个彼此有联系的小重物时，就不能正确地断定，在平衡状态下各个小重物都是在可能占据的一切位置中的最低位置上；这里必须找出所有小重物的位置，而要做到这一点，利用位能的概念常常比较方便。

我们来举一个例子。在波兰数学家施坦因豪斯著的《数学万花筒》①一书中有这样一个问题（问题34）：“三个乡村要合造一所公共的小学校。它分别有 50 、70 和 90 个小孩子。要使所有的小孩子耗费在走到学校里去的时间总数是最少，这个学校应该造在什么地方？



“为了解决这个问题，只要把地图放在桌子上（如上图所示），然后在桌子上相当于各个乡村的地方分别打三个洞；通过这些洞垂下三条绳子，把这三条绳子的一头结在一起，在垂下的另一头分别挂上 50 、70 和 90 个单位重量（例如 500 、700 和 900 克）的小重物，学校就应当造在绳结停留的地方。（为什么？）”



注：

①“数学万花筒”一书已有中译本，裘光明著，中国青年出版社出版——编者注。

实际上，位能可以用它所能作出的功来度量，如果我把细绳剪断，各个小重物在下落时所作出的功就等于它的位能，而整个系统所作出的功等于各小重物所作出的功的总和。

Nicolas2050

数学万花镜 by [波兰] 施坦因豪斯