X^p+Y^q+Z^k=U^m存在正整数解讨论

lusishun

一，（pqm，k）=1时，有正整数解，
例，X*2+Y*2 +Z*3=U*4，
变形为A*8+Y*8+C*9=D*8.
取A=B=C=a*8-2 ，易得，D=a（a*8-2），
则，
X=（a*8-2）*4，
Y=（a*8-2）*4，
Z=（a*8-2）*3，
U=【a（a*8-2）】*2，

注：这里借用的*，是乘方的意思。

lusishun

二，（pqk，m）=1时，有正整数解。
例：X*3+Y*6+Z*2=U*5.

费尔马1

A^2+B^2+C^3=D^4
A=bm^（6k+4）
B=cm^（6k+4）
C=m^（4k+3）
D=am^（3k+2）
其中，m=a^4－b^2－c^2，m>0
取b=c=1，得m=a^4 －2
A=（a^4 －2）^（6k+4）
B=（a^4 －2）^（6k+4）
C=（a^4 －2）^（4k+3）
D=a（a^4 －2）^（3k+2）
其中，a>2
把a换成a^2，即可得到鲁老师的解。
注，丢番图方程各个未知数的指数可以相同，但各个底数是各不相同的。

lusishun

lusishun 发表于 2022-3-19 02:46
二，（pqk，m）=1时，有正整数解。
例：X*3+Y*6+Z*2=U*5.

变形：A^24+B^24+C^24=D^25，
设A=B=C=3，易得
X=3^8，
Y=3 ^4，
Z=3^12，
U=3^5.
为其一组正整数解。

（疫情在家隔离，终究学会了粘贴^了，谢谢杨老先生的指导。）

lusishun

lusishun 发表于 2022-3-19 09:19
变形：A^24+B^24+C^24=D^25，
设A=B=C=3，易得
X=3^8，

全部解：
X=3^（8+20t），
Y=3^（4+10t），
Z=3^（42+30t），
U=3^（5+12t）.
（t取0，1，2，3，………………）

lusishun

lusishun 发表于 2022-3-19 09:19
变形：A^24+B^24+C^24=D^25，
设A=B=C=3，易得
X=3^8，

全部解：
X=3^（8+20t），
Y=3^（4+10t），
Z=3^（12+30t），
U=3^（5+12t）.
（t取0，1，2，3，………………）

lusishun

变形为：
A^24+B^24+C^24=D^25，
就是，D^25-B^24-C^24=A^24
取D=B=C=a^24+2，易得，
X=【a（a^24+2）】^（8+20k），
Y=（a^24+2）^（4+10k），
Z=（a^24+2）^（12+30k），
U=（a^24+2）^（5+12k）.

lusishun

lusishun 发表于 2022-3-20 13:15
变形为：
A^24+B^24+C^24=D^25，
就是，D^25-B^24-C^24=A^24

a=1，k=0就是开始的特解.

费尔马1

lusishun 发表于 2022-3-20 20:48
lusishun 发表于 2022-3-19 09:19
变形：A^24+B^24+C^24=D^25，
设A=B=C=3，易得

全部解：
X=3^（8+20t），
Y=3^（4+10t），
Z=3^（12+30t），
U=3^（5+12t）.

费尔马1

例：X*3+Y*6+Z*2=U*5.
其中一个答案:
X=3^（10t+8），
Y=3^（5t+4），
Z=3^（15t+12），
U=3^（6t+5）.