《九章算术》中一些常见的应用题

yangchuanju

《九章算术》中一些常见的应用题
转摘自《zhoushijingguo的博客》(2011-04-09 10:24:08)

下面是从《九章算术》中选录的一些常见的应用题。从这些题目的解法中，可以体会到古人是怎样思考问题的，对于活跃我们的解题思路，加深对传统文化的认识，都有一定好处。

原题1：今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问：本持米几何？答曰：十斗九升八分升之三。术曰：置米五以所税者三之五之七之为实，以余不税者二、四、六互相乘为法。实如法得一斗。

译述：

“实如法得一斗”是古算书的一种习惯性说法，实如法得一“什么”的意思是“这样就得到什么数”。“实如法得一斗”的意思是“这样就得到斗数”。

　　“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问：本持米几何？”——有人带了一批米出三道关口，外关按货物的三分之一收税，中关按货物的五分之一收，内关按货物的七分之一收税，最后还剩下五斗米。问：这个人本来带了多少米？

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原题2：今有凫(fú)起南海七日至北海，雁起北海九日至南海。今凫雁俱起，问：何日相逢？答曰：三日十六分日之十五。术曰：并日数为法，日数相乘为实。实如法得一日。

“凫”就是野鸭。

译述：

　　“今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海。今凫雁俱起，问：何日相逢？”——野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天。野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，多少天相遇？

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原题3：今有善行者一百步，不善行者六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。问：几何步及之？答曰：二百五十步。术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步为法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步为实。实如法得一步。

译述：

“今有善行者一百步，不善行者六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。问：几何步及之？”——有一个善于走路的人和一个不善于走路的人。善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步。现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？

“答曰：二百五十步。”——答案是：250步。

“术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步为法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步为实。实如法得一步。”——解法是：用善于走路的人的100步，减不善于走路的人的60步，所得的差40步为除数，用善于走路的人的100步，乘不善于走路的人先走的100步，所得的积为被除数。这样就得到步数。

　　100×100÷(100－60)＝250(步)

现在的解法是：100÷(100－60)×100＝250(步)，与上式基本相同。

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原题4：今有乘传委输空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林五日三返。问：太仓去上林几何？答曰：四十八里十八分里之十一。术曰：并空重里数以三返乘之为法，令空重相乘，又以五日乘之为实。实如法得一里。

译述：

“乘传”的意思是驾马车在驿站间行驶。“委输”的意思是把货物放在车上运到别处。

　　“今有乘传委输空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林五日三返。问：太仓去上林几何？”——驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里。现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次。问：太仓距上林多少里？

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原题5：今有池五渠注之，其一渠开之少半日一满，次一日一满，次二日半一满，次三日一满，次五日一满。今皆决之，问：几何日满也？答曰：七十四分日之十五。术曰：各置渠一日满池之数，并以为法。(按此术，其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，是一日五分满之二也；次三日满者，是一日三分满之一也；次五日满者，是一日五分满之一也。并之，得四满十五分满之十四也。)以一日为实。实如法得一日。

从以上各题可以看出，《九章算术》所提供的解题方法的确很便捷，非常有利于数学知识的普及，不足之处是缺少对对算理的阐述，好在这个缺憾在刘徽的注释中有所弥补，这是值得庆幸的。

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历史上经典数学难题

1.遗嘱 传说，有一个古罗马人临死时，给怀孕的妻子写了一份遗嘱：生下来的如果是儿子，就把遗产的2/3给儿子，母亲拿1/3;生下来的如果是女儿，就把遗产的1/3给女儿，母亲拿2/3。结果这位妻子生了一男一女，怎样分配，才能接近遗嘱的要求呢?

2.《九章算术》里的问题 《九章算术》是我国最古老的数学著作之一，全书共分九章，有246个题目。其中一道是这样的：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车曰行25千米，不装米的空车曰行35千米，5日往返三次，问二地相距多少千米?

3.洗碗(中国古题) 有一位妇女在河边洗碗，过路人问她为什么洗这么多碗?她回答说：家中来了很多客人，他们每两人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只菜碗，共用了碗65只。你能从她家的用碗情况，算出她家来了多少客人吗?

转摘自《明大教育资讯的博客》(2017-11-29 10:29:52)

顺序排号编成题目6,7,8。

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解原题1：今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问：本持米几何？”——有人带了一批米出三道关口，外关按货物的三分之一收税，中关按货物的五分之一收，内关按货物的七分之一收税，最后还剩下五斗米。问：这个人本来带了多少米？
解：设该人原带有米x斗，过外管交税1/3，过中关交税1/5，过内关又交税1/7，最后剩余5斗。列方程得
X*(3-1)/3*(5-1)/5*(7-1)/7=5，该方程相当于求素数个数的素数定理公式。
X=5*7/6*5/4*3/2=10.9375（斗）
原题答案10斗9升加8分子3升，就是10.9375（斗）。

（附注：1斗=10升，古代容量单位；1斗小麦约重30kg，1升约3kg，1升大约相当于现代的4立方分米“公升L”，小麦容重按750g/L估算。）

扩展资料：
各类小麦按容重分为五等，低于五等的小麦为等外小麦。
1、一等小麦
容重≥790g/l，不完善粒≤6.0%，杂质总量≤1.0%，其中矿物质≤0.5，水分≤12.5，色泽、气味正常。
2、二等小麦
容重≥770g/l，不完善粒≤6.0%，杂质总量≤1.0%，其中矿物质≤0.5，水分≤12.5，色泽、气味正常。
3、三等小麦
容重≥750g/l，不完善粒≤8.0%，杂质总量≤1.0%，其中矿物质≤0.5，水分≤12.5，色泽、气味正常。
4、四等小麦
容重≥730g/l，不完善粒≤8.0%，杂质总量≤1.0%，其中矿物质≤0.5，水分≤12.5，色泽、气味正常。
5、五等小麦
容重≥710g/l，不完善粒≤10.0%，杂质总量≤1.0%，其中矿物质≤0.5，水分≤12.5，色泽、气味正常。
参考资料来源：百度百科—小麦国家质量标准

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yangchuanju 发表于 2022-3-21 16:08
原题2：今有凫(fú)起南海七日至北海，雁起北海九日至南海。今凫雁俱起，问：何日相逢？答曰：三日十六分日 ...

解原题2：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天。野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，多少天相遇？
解：设总路程是X，t天相遇；
野鸭速度是X/7，大雁速度是X/9，列方程：
X/7*t+X/9*t=X，t/7+t/9=1，t=1/(1/7+1/9)=63/(9+7)=63/16=3+15/16（天）。
答：共需3又15/16天相遇。

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yangchuanju 发表于 2022-3-21 16:08
原题3：今有善行者一百步，不善行者六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。问：几何步及之？答曰：二 ...

解原题3：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人。善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步。现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？
解：设善行者需X步追及，追及时间为t；
善行者速度单位时间内100步，不善行者速度单位时间60步，列方程：
X/100=(X-100)/60，X/100=X/60-100/60，X/60-X/100=100/60，
X=100/60/(1/60-1/100)=10/6*300/(5-3)=10/6*300/2=3000/12=250（步）
答：善行者需250步追及。

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yangchuanju 发表于 2022-3-21 16:09
原题4：今有乘传委输空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林五日三返。问：太仓去上林几何？答 ...

解原题4：驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里。现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次。问：太仓距上林多少里？
解：设两地相距X里，列方程：(X/70+X/50)*3=5，
X=5/3/(1/70+1/50)=5/3*350/(5+7)=5/3*350/12=48.61111=48+11/18（里）
答：两地相距48又18分子11里。