解决四色问题首先必须要弄清楚的问题

雷明85639720

解决四色问题首先必须要弄清楚的问题
雷  明
（二○二二年三月二十八日）

我看了一下，有些朋友在研究四色问题是，对四色问题的来龙去脉也有些不太了解。这怎么去进行研究呢？所以我就想写此短文，以供参考。
1、四色问题的首先提出是在对地图进行面的染色时提出的。即任何地图的面着色最多四种颜色就够用了。早期研究四色问题的先驱坎泊和赫渥特等，都是直接用地图进行研究的。
2、从图论的角度去看，地图也是一种平面图（平面图是在除了顶点外，其他任何地方都不存在边与边相交情况的图），即是每一个顶点都只连结有三个顶点的特殊的平面图——3—正则的平面图。
3、在图论中有对偶图一说，即把原图的面作为新的顶点，把原图中有边相邻的面分别对应的新顶点用边相连结所构成的新图，就叫原图的对偶图。平面图的对偶图也都一定是平面图。
4、地图（3—正则的平面图）的对偶图就是极大平面图（各个面都是三边形面的平面图），地图中的面就是极大图中的顶点，所以给地图中的面的着色也就相当于给其对偶图中的顶点着色。这就是后来的人改用了对极大平面图的顶点着色来研究四色问题的原因。必竟是比用地图直接进行研究要方便一些的。
5、如果极大图的四色问题解决了，那么地图的四色问题也就解决了。同时，经“去顶”和“减边”而得到的任意非极大平面图的任意平面图的色数只会比4种少，而不会再增加。那么，任意平面图的四色问题也就得到了解决。这也就是现在研究四色问题只研究平面图的四色问题的原因。
6、必须强调一点，研究平面图的四色问题也必须从研究极大平面图的顶点着色开始，但并不是对极大平面图的面进行着色的。有的朋友，看到了在极大图的某个面中增加一个顶点，总是有色可着的，就认为用一边增加顶点，一边着色的方法就可以得到任意的平面图，且色数是不会超过4的。也就认为他证明了四色猜测是正确的。但叫他用这种方法得到一个4—着色的二十面体的图时，他却是先画了一个二十面体的极大图，却是在对这个二十面体的极大图的面进行着色。这充分的说明了他对以上的这些关系还是不明白的。
7、明白了以上的这些关系，还要正确的对平面图的不可避免的构形进行正确的分类。分类的原则是：各级分类，都必须是分成非此即彼的两类，以防遗漏，再不能犯坎泊证明中“有漏洞”的错误。只要证明了各种不可避免的构形都是可约的（可4—着色的），就可以得出四色猜测是正确的结论。
8、一级分类：对图着色时总是一个顶点一个顶点的着，总是要有最后一个要着色的顶点存在。把这种还有一个顶点未着色的图就叫构形。但由于未着色顶点的度是一个可变的数，似乎可以有无数种构形。然而图论中却可以证明任何平面图中一定至少有一个顶点的度是小于等于5的。这就为我们证明四色问题，把构形分为可以避免的和不可避免的两类构形创造了条件。使构形的种类由无数种转化成了有限的五种不可避免的构形。这就是坎泊的不可避免集。
9、可以避免的构形可以不去进行研究，因为我们着色时总可以把未着色的顶点放在度是小于等于5的顶点之上。只要集中力量研究度是小于等于5的五种不可避免的构形的可约性上就可以了。
10、二级分类：现在还可以把不可避免的构形按未着色的顶点是否可以直接着色，分成可直接着色的构形和不可直接着色的构形两类。未着色顶点的所有相邻顶点占用颜色数小于等于3的，未着色顶点至少还有一种颜色可以直接着上。否则就是不可直接着色的。继续的分类下去。
11、三级分类：还可以根据不可直接着色的构形是否可以直接从未着色顶点的相邻顶点中空出颜色，把不可直接着色的构形分为可直接从未着色顶点的相邻顶点中空出颜色的构形和不可直接空出颜色的构形。可直接空出颜色的构形坎泊的证明中都已经解决，叫做K—构形。现在主要要解决的是不可直接空出颜色的H—构形（赫渥特构形）。
12、构形中含有不含有双环交叉链是构成H—构形的必要条件。没有它，不能构成H—构形，但有了它，却不一定都是H—构形。H—构形就是不能直接从未着色顶点的相邻顶点中直接空出颜色的构形。比如在BAB型的H—构形中，A—C链和A—D链都不能交换，A、C、D是空不出的，而B—C链和B—C链又不能连续的交换，B也就不能空出来了。如果能把双环交叉的A—C链和A—D链都断开，构形不就转化成了K—构形了吗！
13、关键顶点：要断开双环交叉链，有四个关键的顶点。只要其中有一个顶点的颜色发生了改变，双环交叉链就同时断开了。这就是双环交叉链的共同起始顶点和交叉顶点，以及两链的两个末端顶点。这四个顶点中有三个是围栏顶点，一个是非围栏顶点。其中两链的两个末端顶点又是相邻的两个围栏顶点，另外的两个——两链的共同起始顶点和交叉顶点是不相邻的顶点。
14、含有不含有环形链是能不能断开双环交叉链的关键：在BAB型的H—构形中，若要同时改变双环交叉链的两个末端顶点的颜色C和D，就必须要有一条经过了任一个关键顶点A的环形的A—B链，把这两个相邻的末端顶点（也是围栏顶点）C和D与双环交叉链中的其他着有颜色C和D的顶点，至少有一对分隔在A—B环的两侧，才不至于在改变了两链的两个末端点顶点C和D的颜色后，致使其他的着有颜色C和D的顶点的颜色也都跟着发生变化，使交换失去作用。同样的道理，若要改变两链的共同起始顶点A和交叉顶点A中的任何一个顶点的颜色时，也必须要有一条经过了双环交叉链的两个末端顶点（关键顶点）的环形的C—D链把这两个A色顶点分隔在C—D环的两侧。H—构形中只要含有经过了关键顶点的环形链这个条件，就可以把双环交叉链断开（但也有个别情况，其中虽然含有环形链，也是不能把双环交叉链断开的，见后面）。
15、四级分类：根据有没有环形链且能不能把双环交叉链同时断开，又可以把H—构形分为可断开双环交叉链的构形和不可断开双环交叉链的构形两类。但是，含有经过了关键顶点的环形链，只是可断开双环交叉链的必要条件，而不是充分条件。含有经过了关键顶点的环形链的构形却不一定都能断开双环交叉链（这种构形的却是存在的，我们已经得到了，也是可以解决的，这里也就不再画图了。若要了解更细，请看本人前一论文《赫渥特H—构形的分类、解决办法与四色猜测的证明（修改稿）》，网址是：
http://www.mathchina.com/bbs/for ... =2051118&extra=）。
16、用断链法把双环交叉链同时断开：对于可断开双环交叉链的构形，若构形中含有A—B环形链，交换A—B环形链两侧的任一条C—D链，一定是可以同时断开两条连通链的，也就不存在双环交叉链了；而构形中含有C—D环形链且必须把两个A色的关键顶点分隔在C—D环的两侧时，交换环形链两侧的任一条A—B链也一定可以使两条连通链断开的，也就不存在双环交叉链了（所以把这种使两条双环交叉链同时断开的方法叫“断链法”）。但若C—D环形链不能把两个A色关键顶点分隔在C—D环的两侧时，两条连通链则是不能断开的，双环交叉链则依然是存在的。
17、用转型法首先断开一条连通链：对于不可断开双环交叉链的构形，既然不能使两条双环交叉链同时断开，那么总可以通过转型，首先断开其中的一条（即先移去一个同色。这时，构形的峰点会发生改变，这就是转型），再看看断开一条连通链后的构形是否还是H—构形。若仍是H—构形，就继续的进行转型，直到转化成K—构形为止，一定是可以在有限的转型次数之内解决问题的。所以把这种方法就叫做“转型法”。
18、用转型法＋断链法联合解决问题：上面的不可用断链法同时断开两条双环交叉链的构形中，有一条经过了双环交叉链A—C和A—D的两个末端顶点的环形的C—D链，顺时针一次转型后，就转化成了仍有一条经过了新的双环交叉链D—A和D—B的两个末端顶点的环形的A—B链的构形，一定是可以用断链法解决问题的。这种用先“转型”，后“断链”解决问题的方法可以叫做“转型法＋断链法”。一般在使用转型法的过程中，往往都会生成有环形链的构形，要及时的改用断链法，提前结束转型。
19、现在，平面图不可避免的各种构形都是可约的了。并且可以证明，不可用断链法同时断开两条双环交叉链的构形的转型次数一定是有限的，且最大的转型次数是不会大于20次的，一般情况下只是4或5。
20、现在四色猜测就被证明是正确的了。

雷  明
二○二二年三月二十八日于长安

雷明85639720

，，，，，，，，

朱明君

雷明85639720

1、这个图中有10个顶点，14个面，22条边，代入欧拉分式得：左边＝10＋14＝24，右边＝22＋2＝24，左右相等，是一个平面图。顶点以外没有交叉边。现有问你：你这个图确定了没有，你还有没有变动的地方，若有，请敢快的改。请明确的回答。
2、这个图每两个相邻的顶点都用了不同的颜色，且全图中只用了四种颜色，是符合四色猜测要求的，其色数是不大于4的。着色是正确的。除非你对它的着色是用了三种颜色的，但也是色数不大于4的，也符合四色猜测的要求呀。
3、不知你在这里用了一个已经可4—着色的图，并说其着色是错误的，主要是想说明什么问题呢？无非是想说明有些既可以用3种颜色着色的图，就不能用4种颜色着色吗？
4、你要知道四色猜测说的是任何平面图着色，最多4种颜色就够用了。并没有说3种颜色已可够用的图，就不能用4种颜色着色。不管是4 种还是3种不都是没有超过种吗？
5、你只能说这个图的色数是3（是不是我还没有验证，就算是吧），不是4。但不能说这个图的着色就是错的。难道一个图着色时不能用大于4种的颜色吗？即就是用了5种、6种、7种颜色，也不都达到了相邻顶点不用同一颜色吗？对于地图来说，也不就达到了对相邻区域的区分了吗？
6、现在市面上所卖的地图，颜色数都是大于4的，你能说他们都是错的吗？最大只能说他们的着色是不符合四色猜测的要求的。你说说，现在卖的地图中有没有两个相邻区域用相同颜色的情况，没有嘛。出版社的人再笨，也不至于笨到了这种地步，把相邻的省、区着成同一种颜色。

雷明85639720

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朱明君

雷明85639720 发表于 2022-3-29 01:32
1、这个图中有10个顶点，14个面，22条边，代入欧拉分式得：左边＝10＋14＝24，右边＝22＋2＝24，左右相等， ...

这张图着色不是全息着色，所以这样着色是解决不了四色问题的

雷明85639720

1、请问什么是“全息着色”呢？
2、我没有说这张图着色正确，就能解决四色问题呀！
3、你说这个图的着色是错的，请你指错在那里呢？这可是你画的图呀！
4、自已随便命名，一定要对命名进行定义的。比如“全息着色”等 。

朱明君

雷明85639720 发表于 2022-3-29 03:16
1、请问什么是“全息着色”呢？
2、我没有说这张图着色正确，就能解决四色问题呀！
3、你说这个图的着色 ...

你是研究四色定理元老，这张图你都看不懂，证明你研究四色定理的方法是错的

雷明85639720

1、你说说错在那里？这是你画的图呀！
2、你说说“全息着色”是什么意思？
3、不正确你画它干什么呢？这不是一个平面图吗？不能4—着色吗？

雷明85639720

风水先生，你为什么不解释“全息着色”是什么意思呢？