三种H—构形的相互转化

雷明85639720

三种H—构形的相互转化
雷  明
（二○二二年四月八日）

BAB型的H—构形的三种类型分别是有经过了围栏顶点的A—B环形链的构形，有经过了围栏顶点的C—D环形链的构形和无任何环形链的构形。这三者都是可以相互转化的。
有A—B环形链的构形向有C—D环形链的构形的转化，如图1。



有A—B环形链的构形向任何无环形链的构形的转化，如图2。



有C—D环形链的构形向任何无环形链的构形的转化，如图3。



有环形链C—D的构形向有A—B环形链的构形的转化，如下图1的后4个图向图1—0的转化。




同样的道理，无任何环形链的构形也可以向有环形链A—B和有环形链C—D的构形转化（图就省略不再画了）。
从以上图中可以看出，三者相互转化时，有几个4度的顶点（图中用加大的顶点表示）很关键。这几个顶点只要有一个或两个的顶点发生了变化，构形就发生了转化。这三者的相互转化对证明四色猜测和着色都关系很大。可以把有C—D环形链的构形和无任何环形链的构形都直接转化成有A—B环形链的构形，统一用有A—B环形链的构形来进行证明和着色就可以了。
值得注意的是，在有经过了双环交叉链的两个末端顶点C和D的环形链C—D的构形中，有一种是不能把双环交叉链的共同起始顶点A和交叉顶点A分隔在C—D环形链的两侧的，是不能进行断链交换的，即双环交叉链是断不开的（如图4）。在这种情况下，还会分别有三种情况：①有经过了双环交叉链的共同起始顶点A或者交叉顶点顶点A的A—B环形链，②有另外一条经过了双环交叉链的两个末端顶点C和D的C—D环形链，③或者再没有别的环形链的三种情况。前两种情况一定是可以使用断链法的，后一种情况虽不能直接使用断链法，但可以采用上面H—构形间的相互转化的方法转化成前两种情况之一，也就可以使用断链法解决了。

以上这些相互转化能否实现呢？是不是一定要有4—度的顶点呢？可以证明如下：

若图中存在一个有缺口的A—B环形链时，这个缺口一定是有一条C—D链穿过的（如图5），把C—D链中的某一个顶点C或D改成A或B后，就可达到使A—B链转化成环形链的目的，也就可以使用断链法了。如果改动颜色的这个顶点的度不是4可不可以呢？也可以。从图5中可看出，加大顶点的度无论再怎么变化，都是不会影响到A—B链转化成环形链的。

雷  明
二○二二年四月八日于长安

雷明85639720

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