已知平面上 (1,-1),(3,3),(-k+4,k^2+k),(-k^2-k+1,k-3) 相异四点共圆，k 为整数，求 k

wintex

已知平面上 (1,-1),(3,3),(-k+4,k^2+k),(-k^2-k+1,k-3) 相异四点共圆，k 为整数，求 k

luyuanhong

波斯猫猫

题：已知平面上 (1,-1),(3,3),(-k+4,k^2+k),(-k^2-k+1,k-3) 相异四点共圆，k 为整数，求 k 。
思路（用圆的定义）：设圆心为（a，b），半径为r，则有，
（1）(a-1)^2+(b+1)^2=r^2，
（2）(a-3)^2+(b-3)^2=r^2，
（3）(a+k-4)^2+(b-k^2-k)^2=r^2，
（4）(a+k^2+k-1)^2+(b-k+3)^2=r^2.
(1)-(2)有，a+2b=4，(3)-(4)有，a+b=1，解得a=-2，b=3。
代入（1）有，r^2=25。代入（4）有(k-6)^2+(k^2+k-3)^2=25^2.
以下是k（k∈Z）所有可能取值的情形：
k         k-6       k^2+k-3
11       5           129
10       4           107
9         3           86
6         0           39
3         -3          9
2        -4           3
1        -5           -1
由此可以看出满足(k-6)^2+(k^2+k-3)^2=25^2的仅有k=2.

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

sunzeen

luyuanhong 发表于 2022-4-10 23:22

请问四点共圆的必要条件（行列式为零）哪里有这个证明？

luyuanhong

sunzeen 发表于 2022-4-11 19:46
请问四点共圆的必要条件（行列式为零）哪里有这个证明？