I,J是ΔABC内心旁心，X,Y∈ΔABC外接圆，AX⊥IX，AY⊥JY，IJ中垂线∩BC=K，证AK平分XY

天山草

2021年中国女子数学奥林匹克竞赛第二题

设 I、J 分别是△ABC的内心和 A 所对旁心，X、Y 在△ABC外接圆上满足∠AXI=∠AYJ=90度，I J 的中垂线交直线 BC 于 K。证明 AK 平分 XY。(2021-CGMO-2)




上图是在原图的基础上，增画了一些辅助线。注意，O1 点并不在 XY 直线上。

图中所有蓝色角均为直角。AZ 是外接圆的一条直径，需要先证明 Z 点在线段 I J 的中垂线上。