[原创] 酒壶原本

shuxueweihe

有一个8公升，装满水的酒壶；还有一个5公升的和3公升，没有装水的酒壶。请问你要如何把水平均分成两个4公升分别装在两个酒壶里呢？


定义：

定义1 - x=x公升的水；

定义2 - A(x)=8公升酒壶的x公升的水；

定义3 - B(x)=5公升酒壶的x公升的水；

定义4 - C(x)=3公升酒壶的x公升的水。


公理：

公理1 - 最始状态是A(8) B(0) C(0), 所以一定从A(8)开始。

公理2 - 如果状态是A(0) B(5) C(3), 是没意思的，因为是多余的操作，比如以下的操作例子：

1. A(8) B(0) C(0)

2. A(3) B(5) C(0)

3. A(0) B(5) C(3)

4. A(3) B(5) C(0)

5. A(3) B(2) C(3)
...

不如直接。。。

1. A(8) B(0) C(0)

2. A(3) B(5) C(0)

3. A(3) B(2) C(3)
...
（注解：最好不要有A(0)的操作）

公理3 - 如果下一个操作是撤回前一个操作，那也是没意思的。

抽象“具体的操作”成运算式子的例子：

从A(8)开始（公理1），就是状态A(8) B(0) C(0)的具体操作：

1. A(8) B(0) C(0)

2. A(3) B(5) C(0)

3. A(0) B(5) C(3), 公理2所说的多余！

从具体到抽象，就是运算式子 8-5=3, 3-3=0.

公理4 - 最后状态是A(4) B(4) C(0).
（注解：运算式子里得到4是关键）

公理5 - 显而易见，运算式子的运算选项应该有 -5, +5, -3, +3, -4, +4, -2, +2, -1, +1. 不过，考虑到公理1的8公升酒壶开始操作和性质1，就是从8公升酒壶的角度来看这个封闭系统的“结构”（也就是5公升酒壶和3公升酒壶），运算式子只考虑 -5, +5, -3, +3.

这个公理5会不会和《几何原本》的第5平行公设一样，都有争议呢？还是像《几何原本》一样，相比《几何基础》而不够完善呢？


逻辑推理演绎：

从A(8)开始, 公理1

8+5=13, 不可能！

8-5=3, 设为案例1.

8+3=11, 不可能！

8-3=5, 设为案例2.

案例1:

8-5=3, 3+5=8, 公理3所说的撤回！

8-5=3, 3-5=-2, 不可能！

8-5=3, 3-3=0, 公理2所说的多余！

8-5=3, 3+3=6, 6+3=9, 不可能！

8-5=3, 3+3=6, 6-3=3, 公理3所说的撤回！

8-5=3, 3+3=6, 6+5=11, 不可能！

8-5=3, 3+3=6, 6-5=1, 1+5=6, 公理3所说的撤回！

8-5=3, 3+3=6, 6-5=1, 1-5=-4, 不可能！

8-5=3, 3+3=6, 6-5=1, 1-3=-2, 不可能！

8-5=3, 3+3=6, 6-5=1, 1+3=4, 公理4所说的关键，设为案例1最后式子。

运算式子从抽象到具体操作：

8-5=3, 3+3=6, 6-5=1, 1+3=4

1. A(8) B(0) C(0)

2. A(3) B(5) C(0)

3. A(3) B(2) C(3)

4. A(6) B(2) C(0)

5. A(6) B(0) C(2)

6. A(1) B(5) C(2)

7. A(1) B(4) C(3)

8. A(4) B(4) C(0)

案例2:

8-3=5, 5+5=10, 不可能！

8-3=5, 5-5=0, 公理2所说的多余！

8-3=5, 5+3=8, 公理3所说的撤回！

8-3=5, 5-3=2, 2+3=5, 公理3所说的撤回！

8-3=5, 5-3=2, 2-3=-1, 不可能！

8-3=5, 5-3=2, 2-5=-3, 不可能！

8-3=5, 5-3=2, 2+5=7, 7+5=12, 不可能！

8-3=5, 5-3=2, 2+5=7, 7-5=2, 公理3所说的撤回！

8-3=5, 5-3=2, 2+5=7, 7+3=10, 不可能！

8-3=5, 5-3=2, 2+5=7, 7-3=4, 公理4所说的关键，设为案例2最后式子。

运算式子从抽象到具体操作：

8-3=5, 5-3=2, 2+5=7, 7-3=4

1. A(8) B(0) C(0)

2. A(5) B(0) C(3)

3. A(5) B(3) C(0)

4. A(2) B(3) C(3)

5. A(2) B(5) C(1)

6. A(7) B(0) C(1)

7. A(7) B(1) C(0)

8. A(4) B(1) C(3)

9. A(4) B(4) C(0)


回看以上两个案例最后式子，觉得不好看（不够好）！可以再逻辑演绎"一般化"或"程序化"成一个解法：

案例1最后式子：

8-5=3, 3+3=6, 6-5=1, 1+3=4

8-5+3-5+3=4

同类型的放在一起，-5-5+3+3=-4

x-1, +5+5-3-3=4, 公理4所说的关键4

2(+5)+2(-3)=4, 公理5运算式子的 -5, +5, -3, +3

剩下的两个2是变量，所以可以符号化，

+5X-3Y=4, 丢番图方程，它的求解仅在整数范围内进行，就是X=2, Y=2.

案例2最后式子：

8-3=5, 5-3=2, 2+5=7, 7-3=4

8-3-3+5-3=4

同类型的放在一起，-3-3-3+5=-4

x-1, +3+3+3-5=4, 公理4所说的关键4

3(+3)+1(-5)=4, 公理5运算式子的 -5, +5, -3, +3

剩下的3和1是变量，所以可以符号化，

+3X-5Y=4, 丢番图方程，它的求解仅在整数范围内进行，就是X=3, Y=1.


再出几个类似的题目，比如把8, 5, 3, 4四个数字换一换，直接用丢番图方程的解法：

1) 10, 7, 3, 4

+7X-3Y=6 [(4-10)*-1]; X=3, Y=5

+3X-7Y=6 [(4-10)*-1]; X=9, Y=3

再用之前的步骤测试，也行，因为两者是相通的。

2) 20, 12, 8, 10

+12X-8Y=10 [(10-20)*-1]

+8X-12Y=10 [(10-20)*-1]

两个都找不到整数范围内的解，而用之前的步骤测试，也不行，所以它们不是丢番图方程。


解不出20, 12, 8, 10的酒壶问题表明这个《酒壶原本》只适用于有"整数范围内的解"的酒壶问题啊！就像《几何原本》的第5平行公设，只适用于欧几里得几何，而不适用于非欧几里得几何！也像《几何原本》一样，相比《几何基础》而不够完善，不能给出所有酒壶问题"一般性"的解！

shuxueweihe

酒干倘卖无？

路漫漫其修远兮，吾将沿公理，步逻辑，与数学同行。愿数学与我同在。