[原创] 水桶原本

shuxueweihe

一个5公升的水桶和一个3公升的水桶，没有刻度，如何取4公升的水？

定义：

定义1 - x=x公升的水；

定义2 - A(x)=5公升水桶的x公升的水；

定义3 - B(x)=3公升水桶的x公升的水。


公理：

公理1 - 最始状态是A(0) B(0), 所以一定从0开始。


公理2 - 如果状态是A(5) B(3), 是没意思的，因为是多余的操作，比如以下的：

操作例子1:

1. A(0) B(0)

2. A(5) B(0)

3. A(5) B(3), 没意思，多余的操作！

4. A(5) B(0)

5. A(2) B(3)
...

不如直接。。。

1. A(0) B(0)

2. A(5) B(0)

3. A(2) B(3)
...


操作例子2:

1. A(0) B(0)

2. A(0) B(3)

3. A(5) B(3), 没意思，多余的操作！

4. A(0) B(3)

5. A(3) B(0)
...

不如直接。。。

1. A(0) B(0)

2. A(0) B(3)

3. A(3) B(0)
...

（注解：最好不要有A(5) B(3)的操作）


公理3 - 如果下一个操作是撤回前一个操作，那也是没意思的。

抽象“具体的操作”成运算式子的例子：

从0开始（公理1），就是状态A(0) B(0)的具体操作：

1. A(0) B(0)

2. A(5) B(0)

3. A(2) B(3)

4. A(5) B(0), 公理3所说的撤回！

从具体到抽象，就是运算式子 0+5=5, 5-3=2, 2+3=5.


公理4 - 最后状态是A(4) B(0). B是3公升的水桶，不可能是B(4). 运算式子里得到4, 表示水总量是4公升，即A(x)=A(4), 那B(x)=B(0).

（注解：运算式子里得到4是关键）


公理5 - 显而易见，运算式子的运算选项应该有 -5, +5, -3, +3, -4, +4, -2, +2, -1, +1. 不过，考虑到性质1, 就是这个系统的“结构”（也就是5公升水桶和3公升水桶），运算式子只考虑 -5, +5, -3, +3.


这个公理5会不会和《几何原本》的第5平行公设一样，都有争议呢？还是像《几何原本》一样，相比《几何基础》而不够完善呢？


逻辑推理演绎：

从0开始，公理1

0+5=5, 就是状态A(5) B(0), 设为案例1.

0-5=-5, 不可能！

0+3=3, 就是状态A(0) B(3), 设为案例2.

0-3=-3, 不可能！


案例1:

0+5=5, 5+5=10, 不可能！

0+5=5, 5-5=0, 公理3所说的撤回！

0+5=5, 5+3=8, 公理2所说的多余！

0+5=5, 5-3=2, 2+3=5, 公理3所说的撤回！

0+5=5, 5-3=2, 2-3=-1, 不可能！

0+5=5, 5-3=2, 2-5=-3, 不可能！

0+5=5, 5-3=2, 2+5=7, 7-5=2, 公理3所说的撤回！

0+5=5, 5-3=2, 2+5=7, 7+5=12, 不可能！

0+5=5, 5-3=2, 2+5=7, 7+3=10, 不可能！

0+5=5, 5-3=2, 2+5=7, 7-3=4. 公理4所说的关键，设为案例1最后式子。

运算式子从抽象到具体操作：

0+5=5, 5-3=2, 2+5=7, 7-3=4

1. A(0) B(0)

2. A(5) B(0)

3. A(2) B(3)

4. A(2) B(0)

5. A(0) B(2)

6. A(5) B(2)

7. A(4) B(3)

8. A(4) B(0), 公理4所说的B(0).


案例2：

0+3=3, 3+5=8, 公理2所说的多余！

0+3=3, 3-5=-2, 不可能！

0+3=3, 3-3=0, 公理3所说的撤回！

0+3=3, 3+3=6, 6+3=9, 不可能！

0+3=3, 3+3=6, 6-3=3, 公理3所说的撤回！

0+3=3, 3+3=6, 6+5=11, 不可能！

0+3=3, 3+3=6, 6-5=1, 1+5=6, 公理3所说的撤回！

0+3=3, 3+3=6, 6-5=1, 1-5=-4, 不可能！

0+3=3, 3+3=6, 6-5=1, 1-3=-2, 不可能！

0+3=3, 3+3=6, 6-5=1, 1+3=4. 公理4所说的关键，设为案例2最后式子。

运算式子从抽象到具体操作：

0+3=3, 3+3=6, 6-5=1, 1+3=4

1. A(0) B(0)

2. A(0) B(3)

3. A(3) B(0)

4. A(3) B(3)

5. A(5) B(1)

6. A(0) B(1)

7. A(1) B(0)

8. A(1) B(3)

9. A(4) B(0), 公理4所说的B(0).


回看以上两个案例最后式子，觉得不好看（不够好）！可以再逻辑演绎"一般化"或"程序化"成一个解法：

案例1最后式子：

0+5=5, 5-3=2, 2+5=7, 7-3=4

0+5-3+5-3=4

同类型的放在一起，5+5-3-3=4, 公理4所说的关键4

2(+5)+2(-3)=4, 公理5运算式子的 -5, +5, -3, +3

剩下的两个2是变量，所以可以符号化，

+5X-3Y=4, 丢番图方程，它的求解仅在整数范围内进行，就是X=2, Y=2.


案例2最后式子：

0+3=3, 3+3=6, 6-5=1, 1+3=4

0+3+3-5+3=4

同类型的放在一起，3+3+3-5=4, 公理4所说的关键4

3(+3)+1(-5)=4, 公理5运算式子的 -5, +5, -3, +3

剩下的3和1是变量，所以可以符号化，

+3X-5Y=4, 丢番图方程，它的求解仅在整数范围内进行，就是X=3, Y=1.


再出几个类似的题目，比如把5, 3, 4三个数字换一换，直接用丢番图方程的解法：

1) 9, 4, 6

+9X-4Y=6; X=2, Y=3

+4X-9Y=6; X=6, Y=2

再用之前的步骤测试，也行，因为两者是相通的。


2) 20, 12, 9

+20X-12Y=9

+12X-20Y=9

两个都找不到整数范围内的解，而用之前的步骤测试，也不行，所以它们不是丢番图方程。


解不出20, 12, 9的水桶问题表明这个《水桶原本》只适用于有"整数范围内的解"的水桶问题啊！就像《几何原本》的第5平行公设，只适用于欧几里得几何，而不适用于非欧几里得几何！也像《几何原本》一样，相比《几何基础》而不够完善，不能给出所有水桶问题"一般性"的解！

lihp2020

解不出20, 12, 9的水桶问题 可能你还没有知道精髓 。。
gcd（20,12） =4 所以只能 那么后面的是 是4的倍数才有解  写了那么多感觉没有理解到精髓

+20X-12Y=9

+12X-20Y=9  分类正负就是有问题的
对于 ax+by=c
如果gcd(a,b)|c 才能有解  如果 其中非负整数解有[c/ab] 或者[c/ab]+1个
lg 20, 12, 52   这样就要 20*2+12 =52 也就是不一定要求一正一负

shuxueweihe

lihp2020 发表于 2022-4-12 09:48
解不出20, 12, 9的水桶问题 可能你还没有知道精髓 。。
gcd（20,12） =4 所以只能 那么后面的是 是4的倍数 ...

gcd(20,12)=4

+20X-12Y=9
4(5X-3Y)=9
(5X-3Y)=2.25

或者

(3X-5Y)=2.25

能找到X和Y同时是整数的解？

《水桶原本》没有"精髓"，只有定义，公理，演绎推理，一般化，加，减，乘，连除都没有，更别说是gcd(X,Y)咯！

elim

将大桶装满水，然后将其水倒入空的小桶，于是大桶剩2公升水，将小桶倒空，把大桶的2公升水倒入小桶。
将大桶再次装满水，倒满装有2公升水的小桶，显然大桶所剩的水将是4公升。

lihp2020

gcd(20,12)=4

+20X-12Y=9
4(5X-3Y)=9
(5X-3Y)=2.25

或者

(3X-5Y)=2.25

3X-5Y  也就是无论怎么样操作 操作后 都只能得到一个整数

lg   一个水池(水无限) 和两个桶 20L的  和11L 怎么装除一个3L的水
列不定方程
20X+11Y=3
（其中第一步就是求 gdc（20，11）是否整除3 发现整除证明有解）
解不定方程 解得
x=11K+4
y =-20K-7
其中有（4，-7）（-7,13）（15，-27）等等无数解
对单独一个（4，-7）分析 也就是20*4+11*（-7）=3
就说20L的升的去水池装 4下 装了往11L掉  11L满了 就倒掉(节约用水 请倒回水池)  一共倒7次
剩下的水 就是3L
20X+12Y=9  无论你怎么操作 你每次增加的水 都是4的倍数减少的 也都是4的倍数  所以剩下的水 也必然是4的倍数

elim

楼主了解4楼的解法吗？

shuxueweihe

lihp2020 发表于 2022-4-13 09:56
gcd(20,12)=4

+20X-12Y=9

lihp2020 发表于 2022-4-12 09:48
解不出20, 12, 9的水桶问题 可能你还没有知道精髓 。。
gcd（20,12） =4 所以只能 那么后面的是 是4的倍数才有解  写了那么多感觉没有理解到精髓 ...

所以20, 12, 9的水桶问题是没有X和Y同时是整数的解，是对的吧！

从+20X-12Y=9或者+12X-20Y=9来看，右边的整数9势必变成"非整数"，只要变成是"非整数"，有X和Y同时是整数的解基本就不可能了！这是推理啊！还没用上"精髓"的gcd(X,Y)！  

shuxueweihe

elim 发表于 2022-4-13 10:34
楼主了解4楼的解法吗？

这就是1楼的案例1，还有一个案例2的做法。

案例1

将大桶装满水，然后将其水倒入空的小桶，于是大桶剩2公升水，将小桶倒空，把大桶的2公升水倒入小桶。
将大桶再次装满水，倒满装有2公升水的小桶，显然大桶所剩的水将是4公升。

案例2
1. A(0) B(0)
2. A(0) B(3)
3. A(3) B(0)
4. A(3) B(3)
5. A(5) B(1)
6. A(0) B(1)
7. A(1) B(0)
8. A(1) B(3)
9. A(4) B(0)

就算是这些"纯"做法或者步骤，它们的背后都会有数学，而《水桶原本》就是其数学之一。公理1，4，5就是需要做的步骤，而公理2，3就是不需要做的步骤。

做着。。。做着。。。，就会感觉。。。

"Walk the math in logical steps along the axioms."

"以逻辑的步伐，沿着公理，与数学同行。"

shuxueweihe

就算是这些"纯"做法或者步骤，它们的背后都会有数学，而《水桶原本》就是其数学之一。公理1，4，5就是需要做的步骤，而公理2，3就是不需要做的步骤。

背后都会有数学

就像古希腊毕达哥拉斯学派的"万物皆数"理念，古希腊数学人都相信世间万物的背后都会有数学。他们在找出背后数学的过程，定义、公理化是必然的，他们必定会踏上公理演绎体系的这条路，就像《水桶原本》，在找出那些"纯"做法或者步骤背后的数学的过程中。。。

案例1
将大桶装满水，然后将其水倒入空的小桶，于是大桶剩2公升水，将小桶倒空，把大桶的2公升水倒入小桶。将大桶再次装满水，倒满装有2公升水的小桶，显然大桶所剩的水将是4公升。

案例2
1. A(0) B(0)
2. A(0) B(3)
3. A(3) B(0)
4. A(3) B(3)
5. A(5) B(1)
6. A(0) B(1)
7. A(1) B(0)
8. A(1) B(3)
9. A(4) B(0)

定义、公理是必然的，不可缺的！没公理，就根本没法演绎进行下去！

以逻辑的步伐，沿着公理，与数学同行。

"May the math be with me."
"愿数学与我同在。"

Haiquan

elim 发表于 2022-4-13 09:08
将大桶装满水，然后将其水倒入空的小桶，于是大桶剩2公升水，将小桶倒空，把大桶的2公升水倒入小桶。
将大 ...

也可小3升倒入大5升两次，剩1升，大清空，倒入1升，再倒入小3升，得4升。