从U到V线性变换，为什么“像”是V的“子”空间？

wufaxian

请看下面的证明，感觉只是证明了线性变换对加法和数乘封闭，但是没有针对像是V的“子”空间这个结论证明啊。核是U的子空间是因为并非U中所有元素变换后都等于0，也就是有元素属于U但不是核。可是如果我们定义V是线性变换的输出集合（值域），那像怎么会是V的子空间呢？

liangchuxu

U是原像，Im(\(\sigma\)) \(\in\)V，两个映像向量相加一定为两个原像向量相加后的映像；数乘也一样，这是线性映射本身运算规则所确定的。
注意：这里的加法与数乘运算开初是定义在U上的。定理1告诉我们，这样的运算可以定义在V的子集Im(\(\sigma\))中，进而构成V的子空间。
还补充一点，线性变换是空间自身的映射，对于两个空间间映射不称其为线性变换而是称其为线性映射。