转型法解决H—构形的可约性时最大转型次数的再研究

雷明85639720

转型法解决H—构形的可约性时最大转型次数的再研究
雷  明
（二○二二年四月十四日）

由于存在着以埃雷拉E—图为代表的E—族构形，在施行转型时是以20次转型为一个周期的无穷周期循环转型的构形，即每20次转型后，图又会返回到了原转型出发时的原始状态（各顶点的颜色又与转型前的颜色完全相同）。另外，我们也不可能把无穷多的非E—族构形，都一个个的进行转型，看其转型次数是多少。而只能根据原命题的逆否命题与原命题是“同真同假”的逻辑关系，来判断非E—族构形的转型次数。
已有命题（即原命题）：E—族构形是无穷周期循环转型的构形；其逆否命题是：有限次转型（即非周期循环转型）的构形是非E—族构形的构形。倒过来说则是非E—族构形的构形是非周期循环转型的构形。原命题“E—族构形是无穷周期循环转型的构形”是真的，那么其逆否命题“非E—族构形的构形是非周期循环转型的构形”也就是真的。即非E—族构形以外的构形都是有限次转型的可约的构形。
这里的“有限次”，上界值是多少？一定得要有一个具体的数值，否则，“有限”也就成了无限。因为E—族构形的循环周期是20次转型，两个方向施行转型时共同转型的次数就是40次。而任何一个非E—族构形都是可以从两个不同的方向施行转型的，两个方向的转型次数一定都不会产生循环，即各自的转型次数一定都是不会大于20次的，也就是说两个方向的转型次数的和也一定是不会大于40次的。所以也可以说，从施行了任何一种方向的任何次数之后所得到的构形开始，再施行相反方向的转型，到不存在双环交叉链时的非H—构形时，转型的次数都一定是不会大于40的。所以非E—族构形的最大转型次数也一定是不会大于40次转型的。我和张彧典先生都构造过转形次数大于20次以上的但又小于40次的非E—族构形。
我们用了两个逆时针方向转型都需要20次转型的两个构形，其顺时针方向转型分别需要3次转型和6次转型。其中一个构形的两个方向转型的转型次数之和是23次，另一个构形的两个方向转型的转型次数之和是26次，说明了转型次数大于20次而不出现循环的构形是存在的。两种构形在两种方向转型的转型过程中，每相隔20次转型的两个构形，虽然都是峰点颜色和两个同色顶点颜色都相同的同一类型的非E—族构形，但其中的各顶点的颜色却并不都是完全相同的，也说明了这种转型是不会产生循环现象的，转型次数一定是有限的。转型不会产生循环现象的构形，说明了就只能在40次转型之内就可以解决问题了。

例如，我们用的两个构形的原图分别如图1和图4，都是BAB型的构形。逆时针方向转型15次和18次后分别是图2和图5，顺时针方向转型5次和2次后分别是图3和图6。图2和图3中的两个构形，以及图5 和图6的两个构形，都是同方向转型相隔20次的构形。虽然分别都是CDC型和ABA型，但图中却不是所有的顶点都有相同的颜色（如图2和图3中，左下的菱形中就有菱形中间的两个顶点的颜色不同，图5和图6中，右下的菱形中也有菱形中间的两个顶点的颜色不同），也都说明了不会出现循环现象。


雷  明
二○二二年四月十四日于长安