方阵 A 不可逆时，方阵 AB 与 BA 是否一定相似？如可能不相似，能举出反例吗？

wilsony · 发表于 2022-4-15 13:57

方阵A不可逆时，方阵AB与BA是否一定相似，如可能不相似，能举出反例吗？

luyuanhong · 发表于 2022-4-15 17:31

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

luyuanhong · 发表于 2022-4-15 17:37

wilsony · 发表于 2022-4-15 20:01

谢谢陆老师，我感觉还是有点基本概念没搞懂。

luyuanhong · 发表于 2022-4-15 20:31

上面第 3 楼中题 1 的证明确实不够严密。其实可以把证明中的“对角阵 Λ”改为“Jordan 标准形矩阵”。

任何方阵都可以用可逆阵 P 化为 Jordan 标准形矩阵，Jordan 标准形矩阵的对角元是全部特征值。

只要对角元是全部特征值，最后要证明的结论仍然是成立的。

上面第 2 楼中（二）的证明则没有问题，因为前提是“AB 与 BA 都可以作特征分解”，也就是可以对角化。

wilsony · 发表于 2022-4-15 23:07

题1 是否有笔误，如是，能否改正

luyuanhong · 发表于 2022-4-16 00:21

谢谢楼上 wilsony 指出我的笔误！现已更正。

wilsony · 发表于 2022-4-16 08:58

多谢陆教授！

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