证明不等式 ｜x^2 y／(x^2+y^2)｜≤｜y｜

泮安宁

我比较菜，问一下这个不等式怎么成立的

luyuanhong

波斯猫猫

求证∣x^2y/(x^2+y^2)∣≤∣ y∣。

证（分析法）：欲证∣x^2y/(x^2+y^2)∣≤∣ y∣成立，只需依次证下列不等式：

∣x^2y∣/(x^2+y^2)≤∣ y∣， x^2∣ y∣≤（x^2+y^2）∣ y∣，0≤y^2∣ y∣。

最后一个不等式恒成立，且上述步骤步步可逆。证毕。

泮安宁

luyuanhong 发表于 2022-4-15 20:50

谢谢你的回答

波斯猫猫

求证∣x^2y/(x^2+y^2)∣≤∣ y∣。

证（放缩法）：当x≠0时，∣x^2y/(x^2+y^2)∣=x^2∣y∣/(x^2+y^2)=∣y∣/[1+（y/x)^2]≤∣ y∣.

当x=0时，∣x^2y/(x^2+y^2)∣≤∣ y∣显然成立。

波斯猫猫

求证∣x^2y/(x^2+y^2)∣≤∣ y∣。

证（综合法）：当x=0时，∣x^2y/(x^2+y^2)∣≤∣ y∣显然成立。

当x≠0时，因0≤y^2，故x^2≤x^2+y^2，即x^2∣y∣≤（x^2+y^2）∣y∣，

或∣x^2y/(x^2+y^2)∣≤∣ y∣。

波斯猫猫

由x^2≤x^2+y^2推不出x^2/(x^2+y^2)≤1。因当x=y=0时，x^2≤x^2+y^2成立。

泮安宁

波斯猫猫 发表于 2022-4-15 22:03
由x^2≤x^2+y^2推不出x^2/(x^2+y^2)≤1。因当x=y=0时，x^2≤x^2+y^2成立。

谢谢回复

luyuanhong

原题在分母中出现 x^2+y^2  ，说明已知必有 x^2+y^2≠0 。

在 x^2+y^2≠0 条件下，完全可以从 ｜x^2｜≤｜x^2+y^2｜ 推出 ｜x^2｜／｜x^2+y^2｜≤1 。