复数基础知识小议

春风晚霞

  一、预备知识
1、根式及其运算
       1)、二次根式及其运算
     (1)定义：形如\(\sqrt a\)  a≥0的式子叫根式。
     (2)二次根式的性 质
     ①当a≥0，b≥0时有\(\sqrt {ab}\)=\(\sqrt a\)\(\sqrt b\)
     ②\(\sqrt {a^2}\)=| a |  a∈R
2、和差角正余弦公式
       如图△ABC的外接圆半径为r，圆心为O。D为AB边上的垂线CD与AB的交点。在Rt△ADC中，AD=bcoasx，在Rt△BDC中。BD=acosy；所以在△ABC中AB=AD+BD=bcosx+acos y；在△ABC中，由正弦定理得：BC=a=2rsinx；CA=b=2rsiny；AB=c=2rsin(x+y)；所以，2rsin(x+y)=2rsinxcosy+2rcoscxsiny；所以sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny       ①因为sin(x-y)=sin[x+(-y)]，所以sin(x-y)=sinxcos(-y)+cosxsin(-y)；所以，sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny    ②因为cos(x+y)=sin[π/2-(x+y)]=sin[(π/2-x)-y]=sin(π/2-x)cosy-cos(π/2-x)siny
所以cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny  ③所以cos(x-y)=cos[x+(-y)]=cosxcos(-y)-sinxsin(-y)；所以:cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny  ④
\begin{split}由此我们得到正余函数的和角及差角公式\begin{cases}sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny&①\\sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny&②\\cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny&③\\cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny&④\end{cases}\end{split}

春风晚霞

二、纯虚数i的幂的周期性
1、虚数的相关定义
       ①、定义：适合\(i^2\)=-1的i称作虚数单位。
       ②虚数的定义：形如z=ai  a≠0且a∈R，i为虚数单位的数叫纯虚数。
2、虚数i的幂的周期性及欧拉公式
      (1) 、i的幂的周期性
       数学家欧拉(Euler 1707—1783)在1748年就认识到了\(i^0\)=1；\(\quad\)\(i^1\)=i；\(\quad\)\(i^2\)=-1；\(\quad\)\(i^3\)=-i；\(\quad\)\(i^4\)=1；……\(i^{4k+j}\)=\(i^j\)\(\quad\)k∈{0，1，2，3……}，j∈{0，1，2，3}。
       (2)殴拉公式
       公式\(e^{ix}\)=cosx+isinx称殴拉公式。现证明如下:
【证明:】因为cosx=\(\displaystyle\sum_{n=0}^∞\) \((-1)^n\)\(x^{2n}\over {(2n)!}\)=\(\displaystyle\sum_{n=0}^∞\) \((i^2)^n\)\(x^{2n}\over {(2n)!}\)=\(\displaystyle\sum_{n=0}^∞\) \((i^{2n})\)\(x^{2n}\over {(2n)!}\)=\(\displaystyle\sum_{n=0}^∞\) \((xi)^{2n}\over {(2n)!}\)
       即：cosx=\(\displaystyle\sum_{n=0}^∞\) \((xi)^{2n}\over {(2n)!}\)\(\qquad\)①
       sinx=\(\displaystyle\sum_{n=0}^∞\) \((-1)^n\)\(x^{2n+1}\over {(2n+1)!}\)=\(\displaystyle\sum_{k=0}^∞\) \((i^2)^n\)\(x^{2n+1}\over {(2n+1)!}\)=\(\displaystyle\sum_{n=0}^∞\) \((i^{2n})\)\(x^{2n+1}\over {(2n+1)!}\)
\(\qquad\)即：sinx=\(\displaystyle\sum_{n=0}^∞\) \((i^{2n})\)\(x^{2n+1}\over {(2n+1)!}\)\(\qquad\)②
\(\qquad\)所以：isinx=\(\displaystyle\sum_{n=0}^∞\) \((i^{2n+1})\)\(x^{2n+1}\over {(2n+1)!}\)=\(\displaystyle\sum_{n=0}^∞\)\((xi)^{2n+1}\over {(2n+1)!}\)\(\qquad\)即:isinx=\(\displaystyle\sum_{n=0}^∞\)\((xi)^{2n+1}\over {(2n+1)!}\)\(\qquad\)③
         所以cosx+isinx=\(\displaystyle\sum_{n=0}^∞\) \((xi)^{2n}\over {(2n)!}\)+\(\displaystyle\sum_{n=0}^∞\)\((xi)^{2n+1}\over {(2n+1)!}\)=\(\displaystyle\sum_{j=0}^∞\)\((xi)^j\over j!\)=\(e^{ix}\)
\(\qquad\)\(\mathbf{e^{ix}=cosx+isinx}\)\(\qquad\)(1)【证毕】
       注意:小议不是教科书，不能把所涉及知识都讲一遍。若网友对sinx、cosx、\(e^x\)的泰勒级数展开式有质疑，请参阅相应的教材。

春风晚霞

三、复数Z=a+bi的代数运算
1、复数的概念
       定义：形如z=a+bi  a，b∈R，i为虚数单位的数叫复数。其中称a为复数z实部，b为复数z的虚部。
2、复数z的代数运算
       1)、复数的加、减法运算
       设\(z_1\)=a+bi；\(z_2\)=c+di，则\(z_1\)±\(z_2\)=(a±c)+(b±d)i
       2)、复数的乘除法
       (1）、复数的乘法
       ①、乘法法则：\(z_1\)\(z_2\)=(ac-bd)+(ad+bc)i
       ②、乘逆元素：   z=a+bi的逆元\(z^{-1}\)=\({{a}\over{a^2+b^2}}\)+\({{-b}\over{a^2+b^2}}\)i
       (2)、复数的除法法则
       \(z_1\)=a+bi，\(z_2\)=c+di，则\({{z_1}\over{z_2}}\)=\({{ac+bd}\over{a^2+b^2}}\)+\({bc-ad}\over{a^2+b^2}\)i
       复数的除法法则：两数相除商等于被除数乘以除数的乘逆元素。
       3)、复数Z=a+bi的乘方及开方
       复数Z=a+bi的乘方及开方可借助牛顿二项式定理展开计算，但因其计算较繁，一般不用代数法计算。

春风晚霞

四、复平面及棣莫弗公式
1、复平面相关概念
       1)、复平面的相关概念
       (1)、定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴除去原点的部分叫做虚轴,原点表示实数0,原点不在虚轴上.
       (2)、复平面上的点与复数的对应关系
       复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应,反过来,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应,所以复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的。
2、复数的三角式
       如图，设z=x+yi是复平面上任意一点。线段| oz |的长度为r(也叫复数z的模为r)，由直角三角形中正余弦函数的定义得:x=rcosθ，y=rsinθ  (θ称复数z的幅角，主值区间为(0，2π)，主值区间上的幅角记为argz，非主值区间上的幅角记为Argz)得复数z=x+yi的三角式:\(\mathbf{z=r(cosθ+isinθ)}\)
3、棣莫弗公式
     设复数 \(z_1\)=\(r_1\)(cos\(θ_1\)+isin\(θ_1\))；\(z_2\)=\(r_2\)(cos\(θ_2\)+isin\(θ_2\))，
      则\(z_1\)\(z_2\)=\(r_1\)\(r_2\)[cos(\(θ_1\)+\(θ_2\))+isin(\(θ_1\)+\(θ_2\))]
       【证明:】因为\(z_1\)=\(r_1\)(cos\(θ_1\)+isin\(θ_1\))；\(z_2\)=\(r_2\)(cos\(θ_2\)+isin\(θ_2\))；
       所以\(z_1\)\(z_2\)=\(r_1\)(cos\(θ_1\)+isin\(θ_1\))\(r_2\)(cos\(θ_2\)+isin\(θ_2\))
       =\(r_1\)\(r_2\)[(cos\(θ_1\)+isin\(θ_1\))(cos\(θ_2\)+isin\(θ_2\))
       =\(r_1\)\(r_2\)[(cos\(θ_1\)cos\(θ_2\)+isin\(θ_1\)cos\(θ_2\)+isin\(θ_2\)cos\(θ_1\)+\(i^2\)sin\(θ_1\)sin\(θ_2\))
       =\(r_1\)\(r_2\)[(cos\(θ_1\)cos\(θ_2\)-sin\(θ_1\)sin\(θ_2\))+i(sin\(θ_1\)cos\(θ_2\)+sin\(θ_2\)cos\(θ_1\))]
       =\(r_1\)\(r_2\)[cos(\(θ_1\)+\(θ_2\))+i(sin\(θ_1\)+\(θ_2\))]【证毕】
4、复数三角式的除法
       ①复数z=r(cosθ+isinθ)的倒数为:\(1\over z\)=\(1\over r\)(cosθ-isinθ)
       证明:因为r(cosθ+isinθ)\(1\over z\)(cosθ-isinθ)=(cosθ+isinθ)[cos(-θ)+isin(-θ)]
       =cos(θ-θ)+isin(θ-θ)=cos0=1
       所以，复数z=r(cosθ+isinθ)的倒数为:\(1\over z\)=\(1\over z\)(cosθ-isinθ)
       ②复数三角式的除法法则
       两复数相除，模的商作为商的模，幅角的差作为商的幅角。
5、用棣莫弗公式验证虚数i的幂的周期性
       因为复数1=cos0+isin0；i=cos\(π\over 2\)+isin\(π\over 2\);
       ①、i=1\(\times\)i=(cos0+isin0)(cos\(π\over 2\)+isin\(π\over 2\))=cos(0+\(π\over 2\))+isin(0+\(π\over 2\))
       =isin\(π\over 2\))(即1\(\times\)i=i)；
       ②、\(i^2\)=i\(\times\)i=(cos\(π\over 2\)+isin\(π\over 2\))(cos\(π\over 2\)+isin\(π\over 2\))
       =[cos(\(π\over 2\)+\(π\over 2\))+isin(\(π\over 2\)+\(π\over 2\))]=cosπ+isinπ=-1;
       ③、\(i^3\)=\(i^2\)\(\times\)i=(cosπ+isinπ)(cos\(π\over 2\)+isin\(π\over 2\))
       =[cos(π+\(π\over 2\))+isin(π+\(π\over 2\))]=isin(\(3π\over 2\)=-i;
       ④\(i^4\)=\(i^2\)\(i^2\)=(cosπ+isinπ)(cosπ+isinπ)=cos2π+isin2π=1;这样，我们就验证了，i的幂在幅角argz主值区间上的周期性。同样，我们可以验证i的幂在Argz(即非主值区间上)的周期性。

春风晚霞

五、棣莫弗公式在复数乘除法中的应用
       由于复数的乘除法，涉及到多项式的乘除法法则，固然我可用复数的代数运算(见3楼)完成复数的乘除法，但当乘除法算式中因式较多时，其运算难度相当大，甚至不可能完成。从4楼的《小议》知，用棣莫弗公式化简复数的乘除法运算是行之有效的方法。
      1、棣莫弗公式的推广
       设\(z_j\)=\(r_j\)(cos\(θ_j\)+isin\(θ_j\))，则\(\displaystyle\prod_{j=1}^n\)\(z_j\)=\(\displaystyle\prod_{j=1}^n\)\(r_j\)(cos\(\displaystyle\sum_{k=1}^n θ_j\)+isin\(\displaystyle\sum_{k=1}^n θ_j\))。公式中\(\displaystyle\prod_{j=1}^n\)表示n个因式连乘。
【证明:】(完全归纳法)
       ①、奠基:由棣莫弗定理知，当n=2时，\(\displaystyle\prod_{j=1}^2\)\(z_j\)=\(\displaystyle\prod_{j=1}^2\)\(r_j\)(cos\(\displaystyle\sum_{k=1}^2 θ_j\)+isin\(\displaystyle\sum_{k=1}^2 θ_j\))等式成立。
       ②、归纳假设:设n=m时等式成立，即\(\displaystyle\prod_{j=1}^m\)\(z_j\)=\(\displaystyle\prod_{j=1}^m\)\(r_j\)(cos\(\displaystyle\sum_{k=1}^m θ_j\)+isin\(\displaystyle\sum_{k=1}^m θ_j\))等式成立。
      令β=\(\displaystyle\sum_{k=1}^m θ_j\)，r=\(\displaystyle\prod_{j=1}^m\)\(r_j\);则\(\displaystyle\prod_{j=1}^m\)\(r_j\)(cos\(\displaystyle\sum_{k=1}^m θ_j\)+isin\(\displaystyle\sum_{k=1}^m θ_j\))=r(cosβ+isinβ)
       ③、递推归纳，当n=m+1时，\(\displaystyle\prod_{j=1}^{m+1}\)\(z_j\)=r(cosβ+isinβ)\(r_{m+1}\)(cos\(θ_{m+1}\)+isin\(θ_{m+1}\))
\(\qquad\)=r\(r_{m+1}\)[cos(β+\(θ_{m+1}\))+isin(β+\(θ_{m+1}\))];所以，当n=m+1时，
\(\qquad\)等式\(\displaystyle\prod_{j=1}^{m+1}\)\(z_j\)=\(\displaystyle\prod_{j=1}^{m+1}\)\(r_j\)(cos\(\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1} θ_j\)+isin\(\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1} θ_j\))成立。
       综合①②③知等式\(\displaystyle\prod_{j=1}^n\)\(z_j\)=\(\displaystyle\prod_{j=1}^n\)\(r_j\)(cos\(\displaystyle\sum_{k=1}^n θ_j\)+isin\(\displaystyle\sum_{k=1}^n θ_j\))对一切自然数n成立。
       2、复数三角式的n次乘方公式
       在等式\(\displaystyle\prod_{j=1}^n\)\(z_j\)=\(\displaystyle\prod_{j=1}^n\)\(r_j\)(cos\(\displaystyle\sum_{k=1}^n θ_j\)+isin\(\displaystyle\sum_{k=1}^n θ_j\))中，令r=\(r_j\)，θ=\(θ_j\)    j∈N，立得
      \(\quad\) \(\mathbf{z^n=r^n(cosnθ+isinnθ)}\)
       3、复数三角式n次方根公式(《小议》不证)
\(\qquad\)\(\sqrt[n]{z}\)=\(\sqrt[n]{r}(cos{2kπ+θ\over n}+isin{2kπ+θ\over n}\))\(\quad\)k=1，2，3…(n-1)
       4、随例:\(\quad\)求-1的四个四次方根
\(\qquad\)【\(\mathbf{解:}\)】因为-1=(cosπ+isinπ)所以-1的四个四次方根为cos\(2Kπ+π\over 4\)+isin\(2Kπ+π\over 4\)
\(\quad\)k=0，1，2，3，所以-1的四个四次方根分别为
\(\qquad\)①、\(z_1\)=\(\sqrt 2\over 2\)+\(\sqrt 2\over 2\)i\(\quad\)(k=0时) ；\(\qquad\)②、\(z_2\)=-\(\sqrt 2\over 2\)+\(\sqrt 2\over 2\)i\(\quad\)(k=1时)；
\(\qquad\)③、\(z_3\)=-\(\sqrt 2\over 2\)-\(\sqrt 2\over 2\)i\(\quad\)(k=2时);   \(\qquad\)④、\(z_4\)=\(\sqrt 2\over 2\)-\(\sqrt 2\over 2\)i\(\quad\)(k=3时)

春风晚霞

六、复数知识的初等应用
       复数应用极为广泛，如几何和图形处理；磁波信号处理付里叶变换和逆变换；量子力学薜定谔方程的建立；量子力学理论希尔伯特空间的实现；流体力学涡流问题；交流电的复数表示；……由于众多的应用，都是以复数的解柝性质为基础的，网友欲弄请这些应用，请参阅相关的专业教材(教材一般都要考虑循序渐近，可行性与量力性的统一的问题)。所以，《小议》只给出几个简单的初等应用。
       例1、解方程\(x^3\)+1=0
\(\qquad\)【解:】\(x^3\)+1=0\(\iff\)(x+1)(\(x^2\)-x+1）=0\(\iff\)(x+1)(x-\({1+\sqrt 3i}\over 2\))(x-\({1-\sqrt 3 i}\over 2\))=0
\(\qquad\)所以方程\(x^3\)+1=0的解为\(x_1\)=-1；\(x_2\)=\({1-\sqrt 3 i}\over 2\)；\(x_3\)=\({1+\sqrt 3 i}\over 2\))【解毕】
       例2、求cos5θ、sin5θ关于θ的正余弦函数展开式
    【解:】设z=cosθ+isinθ，则\(z^5\)=\((cosθ+isinθ)^5\)=cos5θ+ isin5θ
又因为\((cosθ+isinθ)^5\)=\(\tbinom{5}{0}\)\( cos^0θ\centerdot(isinθ)^5\)+\(\tbinom{5}{1}\)\( cos^1θ\centerdot(isinθ)^4\)+\(\tbinom{5}{2}\)\( cos^2θ\centerdot(isinθ)^3\)+\(\tbinom{5}{3}\)\( cos^3θ\centerdot(isinθ)^2\)+\(\tbinom{5}{4}\)\( cos^4θ\centerdot(isinθ)^1\)+\(\tbinom{5}{5}\)\( cos^5θ\centerdot(isinθ)^0\)
=(\(cos^5θ\)-10\(cos^3θsin^2θ\)+5cosθsinθ）+i(\(sin^5θ\)-10\(sin^3θcos^2θ\)+5\(sinθcos^4θ\))
所以cos5θ=\(cos^5θ\)-10\(cos^3θsin^2θ\)+5cosθsinθ；
sin5θ=\(sin^5θ\)-10\(sin^3θcos^2θ\)+5\(sinθcos^4θ\)【解毕】
       例3、如图在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC，AD的中点，直线AB、CD分别与直钱EF交于点G、H  求证:\(\angle\)BGE=\(\angle\)CHE
     【证明:】不妨设\(\mathbf{E}\)=0，\(\mathbf{F}\)=1    令\(z_1\)=A-B；\(z_2\)=D-C，则\(z_1\)+\(z_2\)=(A+D)-(B+C)=\(\mathbf{2F}\)-\(\mathbf{2E}\)=2    所以Im\(z_1\)+Im\(z_2\)=0    又因为| \(z_1\) |=| \(z_2\) |   所以| Re\(z_1\) |=| Re\(z_2\) | 由于\(z_1\)+\(z_2\)=2≠0，
故 Re\(z_1\)=Re\(z_2\)，因此\(z_1\)=\(\overline{z_2}\)，所以\(\angle\)BGE=\(\angle\)CHE  【证毕】

jzkyllcjl

春风晚霞：第一，根据数列极限的定义，数列的极限必须是计算极限之前的已有的实数，数列极限表达式中自然数n,只能趋向于∞，但不能够达到∞，。所以我说了[马克思说的是lim n→∞ 0.33……3（n个3）=1/3，但这不是在说lim n→∞ 0.33……3（n个3）=0.3333……，因为后者不是定数即0.3333……不是定数，而是康托尔基本数列0.3，0.33，0.333，……的简写。这个数列是计算分数1/3的十进小数表达式时，由于除不尽的除法过程中逐步得到的以有尽位十进小数为项的无穷数列，虽然这个数列的趋向性极限值1/3，,但这个数列本身是数列性质的变数，而不是于定数1/3。第二， 康托尔实数定义（参看华东师大《数学分析上册》1988年印刷328-338页附录2），可知康托尔把这个基本数列作为1/3.的代表。、这说明康托尔的实数定义是混淆了数列型的变数与其极限值的概念混淆的逻辑的定义。你与elim 的观点以及余元希《初等代数研究上册》87页虚数的维尔斯特拉斯的实数定义也都是如此的概念混淆。

elim

第一，jzkyllcjl 是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣。
第二，\(0.333\ldots \) 是\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\small\frac{3}{10^n}=\frac{3}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\cdots}\)的简写．所以是定数，而不是jzkyllcjl 所篡改成的序列\(\{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{10^n})\}\)．
所以马克思的等式在现行数学中成立，在吃狗屎的jzkyllcjl 所篡改后的数学中不成立．
jzkyllcjl 活该被人类抛弃．

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-4-17 09:04
春风晚霞：第一，根据数列极限的定义，数列的极限必须是计算极限之前的已有的实数，数列极限表达式中自然数 ...

jzkyllcjl先生：
       第一、不错【根据数列极限的定义，数列的极限必须是计算极限之前的已有的实数】，这也叫数列收敛的客观性。【数列极限表达式中自然数n,只能趋向于∞，但不嫩们能够达到∞】，对于数列{\(a_n\)=f(n)}自然数n只能趋向于∞，但f(n)可达到极限值。如对任何常数a，恒有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a\)=a。【所以我说了[马克思说的是lim n→∞ 0.33……3（n个3）=1/3，但这不是在说lim n→∞ 0.33……3（n个3）=0.3333……】，你的说法是错误的。因为lim n→∞ 0.33……3（n个3）与\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)0.\(\overbrace{333…3}^{n个3}\)没有本质上的区别！所以lim n→∞ 0.33……3（n个3）=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)0.\(\overbrace{333…3}^{n个3}\)=0.\(\overbrace{333…3}^{无穷多个3}\)=0.3333…。
      【因为后者不是定数即0.3333……不是定数，而是康托尔基本数列0.3，0.33，0.333，……的简写。】在康托尔实数理论中，每个基本有理数列都表示一个实数。若对任给的ε>0，存在N,当n≥N时，恒有| \(a_n\)-\(b_n\) |<ε，则称由基本列{\(a_n\)}和基本列{\(b_n\)}所决定的实数相等。所以1/3=0.3333…。
       【这个数列是计算分数1/3的十进小数表达式时，由于除不尽的除法过程中逐步得到的以有尽位十进小数为项的无穷数列，虽然这个数列的趋向性极限值1/3，但这个数列本身是数列性质的变数，而不是于定数1/3】1/3=0.3333…与1除以3是否除得尽没有关系。我们从马克思所给级数1/3=3/10+3/100+3/1000+3/10000+…到1/3=0.3333…只用了欧几里得等量公理，1/3=0.3333…等式成立，与1除3是否除得尽无关。
       第二、 【康托尔实数定义（参看华东师大《数学分析上册》1988年印刷328-338页附录2），可知康托尔把这个基本数列作为1/3.的代表。这说明康托尔的实数定义是混淆了数列型的变数与其极限值的概念混淆的逻辑的定义。你与elim 的观点以及余元希《初等代数研究上册》87页虚数的维尔斯特拉斯的实数定义也都是如此的概念混淆。】因为[数列型的变数]和趋向性[极限值]的概念是你在康托尔死后70多年提出来的。所以[概念混淆的逻辑的定义]是因你没认真阅读过一本实数理论的教科书造成的。我不知你为什么对德国数学家康托尔（Cantor，1845.3.3-1918.1.6)如此愤恨？从出生时间和所处国籍看，你(1932年出生)和康托尔既无杀父之仇，也无夺妻之恨。为什么只要是和康托尔有关的东西，你就要挖空心思反对一番呢？我真为康托尔感到不平，像1/3=0.3333…；√2=1.4142…π=3.14159265…这些等式早在泰勒（ Taylor，1685年8月18日－1731年11月30日）、麦克劳林（Maclaurin 1698年—1746年)时期就已问世于数学，你为什么总把帐算在康托尔头上呢？康托尔的实数理论来源于他以前数学家的公众实践，所以康托尔的实数理论兼容他以前的一切数学成就。jzkyllcjl先生，康托尔兼容百家又何罪之有？你盲目的反对康托尔是不是烧香认错了坟头？我和elim先生观点一致，不仅仅因为我们都是现行实数理论的受益者(至少我们的学业是在现行实数理论框架下完成的)。还因为elim先生是我数字之师(至少我Latex程序编译是跟他学会的)。elim虽然小我几十岁，然“生乎吾前，其闻道也固先乎吾，吾从而师之；生乎吾后，其闻道也亦先乎吾，吾从而师之。吾师道也，夫庸知其年之先后生于吾乎？是故无贵无贱，无长无少，道之所存，师之所存也”(参见韩愈《师说》)。所以，我尊称elim为“先生”，他应该是受之无愧的。jzkyllcjl先生(先生一词，仅指你年龄比我稍大而已)，你有什么值得我向你学习的呢？

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-4-17 06:23
jzkyllcjl先生：
       第一、不错【根据数列极限的定义，数列的极限必须是计算极限之前的已有的实数 ...

春风晚霞：第一，你的第一中数的【每个基本有理数列都表示一个实数。若对任给的ε>0，存在N,当n≥N时，恒有| - |<ε，则称由基本列{}和基本列{}所决定的实数相等。】是对的，但需要知道“基本数列是数列性质的变数，它的趋向性极限值才是实数”所以你说的【所以1/3=0.3333…】是概念混小的错误。马克思《数学手稿》19页写出 级数1/3=3/10+3/100+3/1000+3/10000+…表达式之前，说了“假如我把它表成级数，那末……”的欻，所以这个级数表达式不是不必要的；马克思叙述这个级数表达式之前写了1被3除的算是，所以不是你输的【1/3=0.3333…与1除以3是否除得尽没有关系】是错误的，应当把1被3除的除法运算看做把这个级数不表达式的来源。总之，应当从1被3除的除法过程中得到“分数1/3 等于基本数列0.3，0.33，0.333，……的趋向性呢极限，而不是得到等式1/3=0.3333…，马克思没有写出这个等式，你歪曲了马克思的导函数极限方法”。
第二，你的第二中说的【为什么只要是和康托尔有关的东西，你就要挖空心思反对一番呢？我真为康托尔感到不平，像1/3=0.3333…；√2=1.4142…π=3.14159265…这些等式早在泰勒（ Taylor，1685年8月18日－1731年11月30日）、麦克劳林（Maclaurin 1698年—1746年)时期就已问世于数学，你为什么总把帐算在康托尔头上呢？康托尔的实数理论来源于他以前数学家的公众实践，所以康托尔的实数理论兼容他以前的一切数学成就。jzkyllcjl先生，康托尔兼容百家又何罪之有？】是错的。事实上，王宪钧著 数理逻辑引论[M] ]中讲到“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的；潜无穷论者否定实无穷，认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的[1]。”这个实无穷观点中的“完成的”定语，违背“无穷是无有穷尽、无有终了事实”。所以，康托尔的“数学必须肯定实无穷”的意见不是你说的【康托尔兼容百家】，康托尔违反了亚里士多德的潜无穷观点。对任何人的论述都需要使用“对事不对人的实事求是”的说理 方法；对威尔斯特莱斯、戴迪金康托尔三种实数理论，我认为康拓尔实数理论比较好，因为他使用的基本数列反映了1被3除的实践事实，所以我使用了康托尔“基本数列”的术语。 你的对人不对事的论述是错误的。，