李群李代数简介

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李群李代数简介

撰文 | 胡竭末

编辑 | Trader Joe's

对称性在现代物理中占据核心地位，而描述对称性最有力的工具就是群论。

在本文我们将简单介绍一种特殊的群——李群。

物理上经常会遇到一些能连续变化的对称性，为了描述这种连续变化的对称，我们就要借助李群。

比如洛伦兹对称性就是这样一种对称性，借助李群（及它的表示论）的概念，我们可以定量地描述洛伦兹变换甚至由此导出自旋的概念。

另一方面，现代粒子物理有一个很重要的思想那就是理论告诉我们实验能看到什么，这当然不是说理论可以瞎编而不用对实验结果负责，应该来说这句话是指只有通过理论才能赋予实验数据意义。

从这点上讲，我们如今所谈的“粒子”这个概念其实是指“李群的不可约表示空间的基”这样一个东西。

因此即便不进行定量运算，仅仅是从概念上了解现代粒子物理也需要李群的知识。

更进一步的，目前人类最准确的物理理论——标准模型，它本质是一个规范理论，而这个规范理论的核心要素规范群就是一个李群。

总之，物理学家能不用的数学一定是不用的，而李群李代数如此广泛地出现在物理理论中说明现代粒子物理真的离不开它。

本文的目的是简单介绍李群李代数：

● 第一节我们回顾群的基本定义

● 第二节给出李群的定义

● 第三节介绍李代数以及它和李群的关系

1  群和对称

对称是一个极其常见的概念，但是数学上如何准确地描述这个概念却不是一个简单的问题。

为了精确地描述这个概念，我们先诉诸于直观。

考虑一个正方形，我们会说它沿对角线或者中线（两条对边中点的连线）对称，原因是沿线两边“长得一样”。

如果这时候我们把它沿对称轴翻转，那么由于左右两边长得一样，因此我们看不出翻转操作前后这两个正方形有什么不同，既然如此，我们就可以说在这个操作下正方形是不变的。


来源：https://www.quora.com/How-many-l ... e-there-in-a-square

如果我们继续沿先前的对称轴翻转，很明显正方形还是不变，对于同样的操作（沿先前的对称轴翻转）无论我们翻转多少次，正方形都是不变的。

现在我们可以对对称下一个定义：

某个操作保持被操作对象不变，那么我们称这是一个对称操作。

有的时候也会说这个对象具有相应操作的对称性。

理清楚了对称指什么，我们现在需要找到某个理论来描述它，这个理论就是群论。


图片来源：wikipedia



2  李群

我们已经知道了 D4 群可以对应到正方形的对称变换，那么一个圆的对称群是怎么样的呢？

直观上我们会认为圆比正方形更对称，因为以圆心为旋转轴，旋转任意角度，圆都保持不变，所以我们可以说有无数个对称操作。那么对应的群也应该包含无数个群元。


图片来源：https://www.pngkit.com/view/u2q8 ... nner-template-1-12/

有无限群元的群并不是什么奇怪的情况，我们熟悉的加法群就有无限个群元。

但是对于圆的对称操作似乎还有什么不同于加法群这种无限群的地方，这是什么呢？

答案就是当我们说到圆的变换时，我们可以谈圆转了一个无穷小的角度。对于群这个代数结构来说并不能体现“无穷小”这个概念，因为无穷小涉及到极限，而极限的概念依赖于拓扑而非群。

所以我们需要同时用到群结构和拓扑结构才可以准确的说明这种变换。




来源：Introduction to Manifolds and Lie Groups



3  李代数

现在让我们看看同时用群和流形的手段可以得到些什么。

对于微分流形，我们知道可以在上面有切向量。

现在考虑在原点处的一个切向量，由于李群的每一个元素同时还是一个群元，所以任何群元都可以作用到原点。

这样一个群作用是一个光滑映射，那么我们可以问这个映射对切向量有什么影响？




来源: opticalengineering.spiedigitallibrary.org



本文转载自微信公众号“yubr”。