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elim老师……紧急求助e老师,两个椭圆周长近似公式比对,望指导

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发表于 2022-4-22 19:12 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 永远 于 2022-4-22 19:25 编辑

今天天气睛 ,楼主洗洗衣服,晒晒被子,做好饭,又是一天。

苦逼的很,楼主在昆山市自4月2号不上班坐等月底喝西北风,离上海太近了,啥时候是个头啊

话不多说,请看楼下

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 楼主| 发表于 2022-4-22 19:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2022-4-22 19:20 编辑

椭圆周长级数公式:
\(\begin{align}
  C&= \pi (a + b)F( - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2};1;{\lambda ^2}) \\
   &= \pi (a + b)\sum\limits_{n = 0}^\infty  {{{(_{\;n}^{1/2})}^2}{\lambda ^{2n}}}  \\
  &= \pi (a + b)(1 + \frac{1}{4}{\lambda ^2} + \frac{1}{{64}}{\lambda ^4} + \frac{1}{{256}}{\lambda ^6} + \frac{{25}}{{16384}}{\lambda ^8} + \frac{{49}}{{65536}}{\lambda ^{10}}{\text{ + }} \cdots ) \\\end{align} \)
其中\(\lambda  = \frac{{a - b}}{{a + b}}\)。

周钰承老师的公式:
\(C \approx \pi (a + b)[1 + \frac{{3{\lambda ^2}}}{{10 + \sqrt {4 - 3{\lambda ^2}} }} + (\frac{4}{\pi } - \frac{{14\pi }}{{11}}){\lambda ^{14.233 + 13.981{\lambda ^{6.42}}}}]\)

elim老师的公式:
\(C \approx \pi (a + b)\left\{ {1 + \frac{{3{\lambda ^2}}}{{10 + \sqrt {4 - 3{\lambda ^2}} }} + \frac{{\text{3}}}{{{{\text{2}}^{{\text{17}}}}}}{\lambda ^{{\text{10}}}}\{ 1 + \frac{{[(\tfrac{4}{\pi } - \tfrac{{14}}{{11}}) \times \tfrac{{{{\text{2}}^{{\text{17}}}}}}{3} - 1]{\lambda ^{0.75}}}}{{{{[1 + {{(1 - \lambda )}^{0.73}}]}^{6.71}}}}\} } \right\}\)

下面是楼主在Mathematica中编的程序,图像中显示楼上两个近似公式与原级数公式高度拟合,也即周钰承老师的公式丝毫不差e老师的公式。不知道分析的对不对,还请e老师指导!

(点击图片看细节放大图)




  1. Plot[{1 + (3 x^2)/(10 + Sqrt[4 - 3 x^2]) +
  2.    3/2^17 x^10 (1 + ((4/\[Pi] - 14/11) 2^17/
  3.        3 x^0.75)/(1 + (1 - x)^0.73)^6.71),
  4.   1 + (3 x^2)/(
  5.    10 + Sqrt[4 - 3 x^2]) + (4/\[Pi] - 14/11) x^(
  6.     14.233 + 13.981 x^6.42),
  7.   Hypergeometric2F1[-(1/2), -(1/2), 1, x^2]}, {x, 0, 3}]
复制代码


下面是e老师的原始图像:

(点击图片看细节放大图




楼上e老师细节处输入错误,下图已修正细节处错误

(点击图片看细节放大图)




  1. Plot[{(4/\[Pi] - 14/11) 2^17/3 x^(14.233 + 13.981 x^6.42), (
  2.   Hypergeometric2F1[-(1/2), -(1/2), 1, x^2] - 1 - (3 x^2)/(
  3.    10 + Sqrt[4 - 3 x^2]))/((3/2^17) x^10)}, {x, 0.2, 0.99}]
复制代码

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图错了.  发表于 2022-11-29 01:55
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发表于 2022-4-23 01:07 | 显示全部楼层
1)我的拟合公式的幂级数\(\lambda^k\)的系数与精确公式直到\(k=10\) 都是一致的。
2)作图时注意 \(\lambda \le 1\)
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 楼主| 发表于 2022-4-23 10:04 | 显示全部楼层
elim 发表于 2022-4-23 01:07
1)我的拟合公式的幂级数\(\lambda^k\)的系数与精确公式直到\(k=10\) 都是一致的。
2)作图时注意 \(\lamb ...

请看楼上第一张图,3者都重合了,有毛病吗,请指导
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发表于 2022-4-23 10:16 | 显示全部楼层
这个图对应的 x-区间超过了 (-1,1)
泛函分析中把函数看成点,定义各种距离,
有一种是 \(\small\displaystyle\sqrt{\int_D(f-g)^2}\).  可以用数值积分来看函数逼近的优劣.
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 楼主| 发表于 2022-4-23 10:23 | 显示全部楼层
elim 发表于 2022-4-23 10:16
这个图对应的 x-区间超过了 (-1,1)
泛函分析中把函数看成点,定义各种距离,
有一种是 \(\small\displays ...

具体怎么做,可否分析一番,期待老师大作
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发表于 2022-4-23 11:58 | 显示全部楼层
1)你不是会用mathematica吗?用它作数值积分计算.
2)从一般的精度比较看,我的逼近是 \(o(\lambda^{10})\), 张氏逼近是 \(o(\lambda^9)\) 级别的。

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 楼主| 发表于 2022-4-23 12:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 永远 于 2022-4-23 12:02 编辑
elim 发表于 2022-4-23 11:58
1)你不是会用mathematica吗?用它作数值积分计算.
2)从一般的精度比较看,我的逼近是 \(o(\lambda^{10}) ...


原来如此,这细节太微小了,基本在图片上看不出来,还好有数值解,谢谢指导

用5楼那个根号下啥玩意,怎么鉴定劣势,老师你不能说说就完事了,求用你5楼的方法做,我好学习一下,谢谢
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发表于 2022-4-23 12:43 | 显示全部楼层
如果你学过线性代数,就知道所谓的内积运算,有限维向量空间的标准内积是
\(\mathbf{xy}=\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=\langle (x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)\rangle=\sum_1^n x_ny_n\)
两个向量的欧氏距离是\(\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|=\sqrt{\langle\mathbf{x-y},\mathbf{x-y}\rangle}\)
类似地,\(\langle f,g\rangle={\small\displaystyle\int_D} fg\) 是以\(D\)上的绝对可积函数全体构成的线性空间中的内积运算.
由此可定义该空间上的度量\(\,\sqrt{\langle f-g,f-g\rangle}\)
这些内容是实变函数和泛函分析或者数学物理方法中的内容,你听我讲不如看书。
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