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发表于 2022-4-22 19:15
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本帖最后由 永远 于 2022-4-22 19:20 编辑
椭圆周长级数公式:
\(\begin{align}
C&= \pi (a + b)F( - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2};1;{\lambda ^2}) \\
&= \pi (a + b)\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{(_{\;n}^{1/2})}^2}{\lambda ^{2n}}} \\
&= \pi (a + b)(1 + \frac{1}{4}{\lambda ^2} + \frac{1}{{64}}{\lambda ^4} + \frac{1}{{256}}{\lambda ^6} + \frac{{25}}{{16384}}{\lambda ^8} + \frac{{49}}{{65536}}{\lambda ^{10}}{\text{ + }} \cdots ) \\\end{align} \)
其中\(\lambda = \frac{{a - b}}{{a + b}}\)。
周钰承老师的公式:
\(C \approx \pi (a + b)[1 + \frac{{3{\lambda ^2}}}{{10 + \sqrt {4 - 3{\lambda ^2}} }} + (\frac{4}{\pi } - \frac{{14\pi }}{{11}}){\lambda ^{14.233 + 13.981{\lambda ^{6.42}}}}]\)
elim老师的公式:
\(C \approx \pi (a + b)\left\{ {1 + \frac{{3{\lambda ^2}}}{{10 + \sqrt {4 - 3{\lambda ^2}} }} + \frac{{\text{3}}}{{{{\text{2}}^{{\text{17}}}}}}{\lambda ^{{\text{10}}}}\{ 1 + \frac{{[(\tfrac{4}{\pi } - \tfrac{{14}}{{11}}) \times \tfrac{{{{\text{2}}^{{\text{17}}}}}}{3} - 1]{\lambda ^{0.75}}}}{{{{[1 + {{(1 - \lambda )}^{0.73}}]}^{6.71}}}}\} } \right\}\)
下面是楼主在Mathematica中编的程序,图像中显示楼上两个近似公式与原级数公式高度拟合,也即周钰承老师的公式丝毫不差e老师的公式。不知道分析的对不对,还请e老师指导!
(点击图片看细节放大图)
- Plot[{1 + (3 x^2)/(10 + Sqrt[4 - 3 x^2]) +
- 3/2^17 x^10 (1 + ((4/\[Pi] - 14/11) 2^17/
- 3 x^0.75)/(1 + (1 - x)^0.73)^6.71),
- 1 + (3 x^2)/(
- 10 + Sqrt[4 - 3 x^2]) + (4/\[Pi] - 14/11) x^(
- 14.233 + 13.981 x^6.42),
- Hypergeometric2F1[-(1/2), -(1/2), 1, x^2]}, {x, 0, 3}]
复制代码
下面是e老师的原始图像:
(点击图片看细节放大图)
楼上e老师细节处输入错误,下图已修正细节处错误
(点击图片看细节放大图)
- Plot[{(4/\[Pi] - 14/11) 2^17/3 x^(14.233 + 13.981 x^6.42), (
- Hypergeometric2F1[-(1/2), -(1/2), 1, x^2] - 1 - (3 x^2)/(
- 10 + Sqrt[4 - 3 x^2]))/((3/2^17) x^10)}, {x, 0.2, 0.99}]
复制代码 |
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