P 是 y=2e^x 曲线上一点，Q 是 y=ln(x/2) 曲线上的一点，求 PQ 长度的最小值

wintex

P 是 y=2e^x 曲线上一点，Q 是 y=ln(x／2) 曲线上的一点，求 PQ 长度的最小值

波斯猫猫

题：P 是 y=2e^x 曲线上一点，Q 是 y=ln(x/2) 曲线上的一点，求 PQ 长度的最小值。

思路：显然y=2e^x与 y=ln(x/2) 互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称，

设P(a，2e^a)，Q是P关于y=x的对称点，d是P到直线y=x的距离，

则∣ PQ ∣=2d=2∣a-2e^a ∣/√2。令Z=a-2e^a ，则由Z′=1-2e^a=0得2e^a=1及a=-ln2。

故∣ PQ ∣min=2∣a-2e^a ∣/√2=2∣-ln2-1∣/√2=√2（1+ln2）。

luyuanhong

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