构形的多级分类与可约性及四色问题的解决

雷明85639720

构形的多级分类与可约性及四色问题的解决
雷  明
（二○二二年四月二十四日）

解决四色问题时，是用有限的不可避免构形来替代无穷多的平面图的，因此，对构形的科学分类非常重要。只有这样，才能保证构形类别的完备性。既不能重复，又不可遗漏。以免重演坎泊证明中遗漏了含有双环交叉链的构形的重大失误。
1、一级分类：
1、1  可以避免的构形。待着色顶点的度d≥6，不再进行研究，因为任何平面图中都至少含有一个度是小于等于5的顶点，着色时总可以把待着色顶点放在度是小于等于5的顶点之上。
1、2  不可避免的构形。待着色顶点的度d≤5，进行二级分类。
2、二级分类：
2、1  可直接给待着色顶点着色的构形。围栏顶点占用颜色数小于等于3，可直接给待着色顶点着色，因为至少还有一种颜色可着。
2、2  不可直接给待着色顶点着色的构形。围栏顶点占用颜色数等于4，进行三级分类。
3、三级分类：
3、1  可直接从围栏顶点中空出颜色的K—构形。把空出的颜色给待着色顶点着上就可以了。
3、2  不可直接从围栏顶点中空出颜色的H—构形。该类构形中一定含有双环交叉链。进行四级分类。
4、四级分类：
4、1  含有经过了关链顶点的环形链的构形。BAB型H—构形中，双环交叉链A—C和A—D的共同起始顶点A和交叉顶点A，以及两链的两个末端顶点C和D四个顶点都是关键的顶点。其中只要有任何一个关键顶点的颜色发生了变化，构形就会转化成无双环交叉链的K—构形。由于可以有不同的环形链，所以再进行第五级分类。
4、2  五级分类：
4、2、1  含有A—B环形链的构形。这种构形，无论A—B环形链是经过了几个A色的关键顶点，A—B环形链都把两链的末端顶点C和D构成的C—D链与其他的C—D链分隔在了A—B环的两侧，互不连通。在A—B环内外交换任一条C—D链，构形就会转化成K—构形。这种方法叫断链法。
4、2、2  含有C—D环形链的构形。这构形又有可不可以把双环交叉链断开之分。还要再进行第六级分类。
4、2、3  六级分类：
4、2、3、1  可以断开双环交叉链的构形。该类构形中C—D环能够把两个A色的关键顶点分隔在环的两侧。也用断链法解决。但交换的是C—D环内外的任一条A—B链，而不是C—D链。
4、2、3、2  不可以断开双环交叉链的构形。该类构形中的C—D环不能把两个A色的关键顶点分隔在环的两侧。不能使用断链法解决。而只能归入应与“4、1”对应的“4、2  不含有经过关链顶点的环形链的构形”一类中。
4、2  不含有经过关链顶点的环形链的构形。这类构形因不含环形链，不可能采用断链法，而必须进行使构形峰点不断变化的连续转型法。可以证明这种连续转型的转型次数是有限的，最大也是不会大于40次的。且在转型的过程中，还有可能转化成含有经过了关键顶点的环形链的构形，及时的改用断链法，可以提前结束转型。

平面图的不可避免构形在各种情况下都已经是可约的了，四色 猜测也就证明是正确的了，四色问题也就得到了解决。

雷  明
二○二二年四月二十四日于长安

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雷明85639720

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