正方形两顶点 A(6,3)，B(2,6)，可表示为 |a1x+b1y+c1|+|a2x+b2y+c2|＜1，求 |c1|+|c2|

mrcombo

大家好，請問這題要如何下手呢?

波斯猫猫

思路：以正方形的中心为原点，对角线所在的直线为坐标轴建立坐标系，

则边长为5的正方形及内部可表为∣x∣+∣y∣≤5√2/2。

显然，由条件易算得正方形的边长为5，中心O′（5/2，5/2），C（-1，2）。

因对角线AC的倾角α满足tanα=1/7，故sinα=1/5√2，cosα=7/5√2。

从而，把∣x∣+∣y∣≤5√2/2按逆时针方向绕原点旋转角度α，

得到∣（7x+y）/5√2∣+∣（x-7y）/5√2∣≤5√2/2,

即∣7x+y∣+∣x-7y∣≤25。由此，把正方形的中心从原点平移到点O′（5/2，5/2），

得到∣7(x-5/2)+y-5/2∣+∣x-5/2-7(y-5/2)∣≤25，

即∣7x/25+y/25-4/5∣+∣x/25-7y/25+3/5∣≤1。

不妨令c1=-4/5，c2=3/5，故∣c1∣+∣c2∣=7/5。

波斯猫猫

此过程相当于把“简单问题复杂化“，少见。

波斯猫猫

思路：以正方形的中心为原点，对角线所在的直线为坐标轴建立坐标系，

则边长为5的正方形及内部可表为∣x∣+∣y∣≤5√2/2。

显然，由条件易算得正方形的边长为5，中心O′（5/2，5/2），C（-1，2）。

因对角线AC的倾角α满足tanα=1/7，故sinα=1/5√2，cosα=7/5√2。

从而，把∣x∣+∣y∣≤5√2/2按逆时针方向绕原点旋转角度α，

得到∣（7x+y）/5√2∣+∣（x-7y）/5√2∣≤5√2/2,

即∣7x+y∣+∣x-7y∣≤25。由此，把正方形的中心从原点平移到点O′（5/2，5/2），

得到∣7(x-5/2)+y-5/2∣+∣x-5/2-7(y-5/2)∣≤25，

即∣7x/25+y/25-4/5∣+∣x/25-7y/25+3/5∣≤1。

不妨令c1=-4/5，c2=3/5，故∣c1∣+∣c2∣=7/5。

波斯猫猫

可以检验：正方形的边长为5，顶点A(6，3)，B(2，6)，C(-1，2)，D(3，-1)，中心O′（5/2，5/2）。

边界及内部满足∣7(x-5/2)+y-5/2∣+∣x-5/2-7(y-5/2)∣≤25，即∣7x+y-20∣+∣x-7y+15∣≤25。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。