四面体顶点 A(-1,1,3),B(1,2,3),C(2,0,4),D(1,1,1)，求 P∈CD 使得截面 PAB 面积最小

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350 請問幾何

波斯猫猫

提示：易写出异面直线AB与CD的点向式方程。设P(a，b，c)∈CD，Q(x，y，z)∈AB，由PQ有最小值时（异面直线的距离）易求出P(a，b，c)。

luyuanhong

波斯猫猫

题：四面体顶点 A(-1,1,3),B(1,2,3),C(2,0,4),D(1,1,1)，求 P∈CD ，使得截面 PAB 面积有最小值。

思路：显然，直线AB和CD的方程分别为

AB：(x-1)/2=(y-2)/1=(z-3)/0，CD：(x-2)/1=y/(-1)=(z-4)/3。

设P(a，b，c)∈CD，Q(x，y，z)∈AB，

则(a-2)/1=b/(-1)=(c-4)/3=t（令其为t），且(x-1)/2=(y-2)/1=(z-3)/0=r（令其为r）。

即P(a，b，c)=P(t+2，-t，3t+4)，Q(x，y，z)=Q(2r+1，r+2，3)。

故PQ^2=(a-x)^2+(b-y)^2+(c-z)^2=(t-2r+1)^2+(-t-r-2)^2+(3t+1)^2

=(54/5)(t+9/5)^2+5(r-t/5)^2+8/3。由此知t=-9/5（r=-9/25）时，截面 PAB 面积有最小值。

此时求得P(a，b，c)=P(13/9，5/9，7/3)   (因1＜13/9＜2，故P在CD之间。符合P∈CD)。