求极限 lim(n→∞)(1-e)e^(1／n)／{n[1-e^(1／n)]}

永远

\(\;\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{(1 - e){e^{\frac{1}{n}}}}}{{n(1 - {e^{\frac{1}{n}}})}}\)

luyuanhong

永远

luyuanhong 发表于 2022-4-27 22:49

陆老师晚上好，我这样写没问题吧，看看每一步是不是有写法上以及逻辑上错误

\(\begin{align}
  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{(1 - e){e^{\frac{1}{n}}}}}{{n(1 - {e^{\frac{1}{n}}})}} &= (1 - e)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{e^{\frac{1}{n}}}}}{{n(1 - {e^{\frac{1}{n}}})}} \\
   &= (1 - e)\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to 0} \frac{{{e^\lambda }}}{{\frac{1}{\lambda }(1 - {e^\lambda })}} \\
   &= (1 - e)\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to 0} \frac{{\lambda {e^\lambda }}}{{1 - {e^\lambda }}} \\
   &= (1 - e)\frac{{\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to 0} \lambda {e^\lambda }}}{{\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to 0} (1 - {e^\lambda })}} \\
   &= (1 - e)\frac{{\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to 0} (\lambda  + 1){e^\lambda }}}{{ - \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to 0} {e^\lambda }}} \\
   &= (1 - e) \times ( - 1) \\
   &= e - 1 \\
\end{align} \)

luyuanhong

永远

luyuanhong 发表于 2022-4-28 08:12

老师好，我这样写，应该没有错误了吧

\(\begin{align}
  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{(1 - e){e^{\frac{1}{n}}}}}{{n(1 - {e^{\frac{1}{n}}})}} &= (1 - e)\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{e^{\frac{1}{n}}}}}{{n(1 - {e^{\frac{1}{n}}})}} \\
   &= (1 - e)\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to 0} \frac{{{e^\lambda }}}{{\frac{1}{\lambda }(1 - {e^\lambda })}} \\
   &= (1 - e)\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to 0} \frac{{\lambda {e^\lambda }}}{{1 - {e^\lambda }}} \\
   &= (1 - e)\mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to 0} \frac{{(\lambda  + 1){e^\lambda }}}{{ - {e^\lambda }}} \\
  & = (1 - e) \times [ - \mathop {\lim }\limits_{\lambda  \to 0} (\lambda  + 1)] \\
   &= e - 1 \\
\end{align} \)

luyuanhong

永远 发表于 2022-4-29 10:53
老师好，我这样写，应该没有错误了吧

\(\begin{align}

对，这样就完全正确了。

永远

luyuanhong 发表于 2022-4-29 11:09
对，这样就完全正确了。

谢谢陆老师，可否看看这个帖子

怎样将定积分 ∫(0,1)e^xdx 表示为求和式的极限？

http://www.mathchina.com/bbs/for ... tid=322497#lastpost

elim

分子显然趋于\(1-e.\;\)而分母
\(n(1-e^{\frac{1}{n}})=-n{\small\displaystyle\sum_{m=1}^\infty\frac{n^{-m}}{m!}}=-1+O(\frac{1}{n})\to -1\,(n\to\infty)\).