ΔABC 中，∠ACB=30°，D∈AB，E∈CD，AB=CE，∠ECA+2∠EAC+3∠DAC=180°，求 ∠BDC

ccmmjj · 发表于 2022-5-3 23:03

浏览微信公众号“林根数学”，看到的题目，形式很奇怪，思考了大半小时，没有头绪。发在这里，请网友帮助想一想。

ccmmjj · 发表于 2022-5-4 09:57

本帖最后由 ccmmjj 于 2022-5-4 06:07 编辑

昨晚倚枕闭目时，忽灵机一动，想出了答案是60度。但题目确是有点意思，并不急公布解答，让有几何兴趣的朋友思考几天。
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不是不想公布解答，而是严密的推导还未完成。

ccmmjj · 发表于 2022-5-5 11:49

解决了这道怪题
如图所示，最后一步用了一点几何直观。

波斯猫猫 · 发表于 2022-5-5 12:35

题：ΔABC 中，∠ACB=30°，D∈AB，E∈CD，AB=CE，∠ECA+2∠EAC+3∠DAC=180°，求 ∠BDC。

思路：设∠ECA=α，∠EAC=β，∠DAE=γ，AC=x，AB=CE=y，由正弦定理

有x/sin(α+β)=y/sinβ，x/sin(β+γ+30°)=y/sin30°，

消去x和y得，sin(α+β)=2sin(β+γ+30°)sinβ。因α+2β+3(β+γ)=180°，

故，sin(4β+3γ)=2sin(β+γ+30°)sinβ=cos(γ+30°)-cos(2β+γ+30°)，

或cos(2β+γ+30°)=sin(60°-γ)-sin(4β+3γ)=-2cos(2β+γ+30°)sin(2β+2γ-30°)，

cos(2β+γ+30°)[2sin(2β+2γ-30°)+1]=0。因β，γ和β+γ都是三角形的内角，

由此解得，2β+γ=60°。即∠BDC=α+β+γ=180°-2(2β+γ)=60°。

shuxuestar · 发表于 2022-5-5 14:01

本帖最后由 shuxuestar 于 2022-5-5 14:03 编辑

这种题假如是应用题而不是凑巧合的题，可以用求动点轨迹和条件设角求两线交点解决..........

毕竟出题人碰到巧合值也属于非常偶然的情况，这种题答案不是特殊值的话几何证明估计很难蒙对，

没有多大意义

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ΔABC 中，∠ACB=30°，D∈AB，E∈CD，AB=CE，∠ECA+2∠EAC+3∠DAC=180°，求 ∠BDC

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