一底面为三角形的直棱柱，某一彼此相邻的三个面的面积总和为一给定值，求体积的最大值

jvk0825

請問這題數學如何求解

luyuanhong

波斯猫猫

由V=√3a^2h/4，有a^2h=4V/√3，即(a^2h)^2=16V^2/3，

故，定值c=2ah+√3a^2/4=ah+ah+√3a^2/4≥3（ah.ah.√3a^2/4）^(1/3)

=3[(√3/4)(a^2h)^2]^(1/3)=3[(√3/4)(16V^2/3)]^(1/3)，

即 V≤[√(√3c)]^3/18（当且仅当h=√3a/4时等号成立）。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

shuxuestar

   你们把题目看错了  某一相邻面不是任一相邻面

shuxuestar

我的解答：

luyuanhong

我前面第 2 楼中的解答，将题目中的“某一彼此相邻的三个面”理解为“任一彼此的相邻三个面”。

现在看来，楼上 shuxuestar 的理解，更符合题目真正的意思，应该是“某一”，不是“任一”。

下面是我按照“某一”的理解，重新给出的解答：

shuxuestar

这题还可以由一个定理推出结论:
xyz=c，假如x，y，z自由取值不受限的话，x=y=z，x+y+z有极小值
反过来对比不难知道：x=y=z，x+y+z不变，xyz有极大值 ，
令（x，y，z）等于（ah，bh，absin(a)/2)
极大值(a^2)*(h^2)*(b^2)sin(a)/2这个就是三棱柱体积2V^2/sin(a)了
而有可能sin(a)=1的话，有2V^2<=2V^2/sin(a) 即包含情形
所以这（ah，bh，absin(a)/2）三数相等对应V极大值，
进行验证，这种情况符合题设，由此推导完毕。

大致方法，没有细推。 陆老师和爱好者可以试试这种方法..........