求证：YH=HL

太阳

太阳

yangchuanju

或许这是一道真命题！

yangchuanju

太阳 发表于 2022-5-7 21:02

小圆半径最大为EH时，两线段长为0，两角约等于24度；小圆半径最小位0时，两线段长为DC，两角约等于16度。

较为精确的计算表明：小圆半径最大为EH时，两线段长为0，两角等于23.41322445度；小圆半径最小位0时，两线段长为DC，两角等于16.10211375度。

太阳

太阳 发表于 2022-5-7 21:02

图中Y可能不在大圆的弧上了，上一条中的弧BY应改为弧BC，特更正
这里没有必要更正，图1的图2都是正确的，图1，特殊情况，两个交点重合了，大圆和TL交点，小圆和TL交点，两个点重合

yangchuanju

太阳 发表于 2022-5-7 21:02

请参看2楼太阳原图。
证明：
如图二，由于角BKA=60度，大圆弧BTM等于120度，故延长KF必然通过M点；
做大半圆的垂直半径AP，交三角形中位线TFEY于Q点。
角KMC是大圆的一个圆周角，令其度数为b；角KAC是大圆的一个圆心角，角度等于2b；
依题意，AL是角KAC的平分线，故角LAC等于b；由于角KMC=角LAC=b，故直线MFK平行于直线AL。
令AC=1，则BD=0.866，ED=0.433；再做MAC的垂线FR，交MAC于R点；做MAC的垂线LS，交MAC于S点；
在直角三角形MFR中，FR=0.433，FR/MR=TAN(b)，MR=FR/TAN(b)=0.433/TAN(b)；
在直角三角形ALS中，LS=0.433，LS/AS=TAN(b)，AS=LS/TAN(b)=0.433/TAN(b)；
AS=AC+CS=AC+HL=1+HL；
MR=MA+AR=MA+QF=1+QF；
故有AS=MR，HL=QF；
在四分之一圆APC中，由于对称性，QF=YH，故YH=HL，太阳命题成立！

yangchuanju

几个特殊状态：
令大圆与三角形中位线的交点为Z，动点K可从B点逐渐下移到Z点。
（1）当K位于B处，角CAK=60度，角平分线AL与三角形中位线的交点L位于三角形BC边与中位线的交点处；
角CAL=30度，其正切值等于0.577350269，L的水平投影线长等于0.433012702/0.577350269=0.75；LH=1-0.75=0.25；
小圆与三角形中位线的交点Y位于垂线CHN右侧，小圆半径也等于0.433012702/0.577350269=0.75；YH=YE-EF=1-0.75=0.25；YH=HL=0.25。
（2）当K逐渐下移时，KM与三角形中位线的交点F逐渐右移，小圆半径逐渐变小到0.5时；小圆与中位线的交点Y变到H处，角CAY=ATAN(0.433...)=23.41322445度；
圆周角CMK等于圆心角CAY=23.41…度，此时KFM平行于角KAC平分线LA，LA水平投影线长等于TAN(23.41…)/0.433…=1，交点L移到H处，三点H、Y、L重合成一个点；YH=HL=0。
（3）K点继续下移至KEA穿过E点，即F右移待E点，小圆半径变成0（最小），圆周角KMC的正切变成0.4333…/1.5=0.288675135，角KMC=16.10211375度；
圆心角KAC等于2*16.10…，平分后的两角KAL和角LAC都等于16.10…度；小圆（半径为0）与中位线交点Y左移至E点，YH=0.5；角平分线AL与中位线交点L右移到较远处；
AL的水平投影线长变成0.433…/TAN(16.10…)=1.5，HL=1.5-1=0.5；YH=HL=0.5。
(4)K点继续下移至大圆与中位线交点Z处，KFM与中位线的交点F移到Z，以EZ为半径，E为圆心画圆，交中位线于Y（位于点E左侧了），
连接KM（ZM），连接KA（即ZA）；角KAC的正弦等于0.433…，等于25.65890627度，斜边AK的水平投影等于1*cos25.6589°=0.901387419；
小圆与三角形中位线的左交点Y至H点的长（右加左减同数1-0.901…）仍等于0.901…；
角KAC的平分线LA，角LAC等于25.6589/2=12.82945314度，其正切等于0.227735077，LA的水平投影长等于0.433…/0.2277…=1.901387919，
HL=1.901…-1=0.901…，YH=HL。

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yangchuanju 发表于 2022-5-11 06:14
几个特殊状态：
令大圆与三角形中位线的交点为Z，动点K可从B点逐渐下移到Z点。
（1）当K位于B处，角CAK=6 ...

逆命题如何证明？