一个多位正整数，与数字次序倒过来写的正整数相减，为什么相减的结果能被 3 整除？

印度阿四

一个初中时的无意发现，有大神能破解的吗？？

这个是我读初中的时候无意中按计算器发现的，就是一个整数，（就是没有小数点的，可能描述的不对，见谅）

减去这个数倒过来的数字，都能被3整除，有能求证的吗？例如：36598-89563=-52965,-52965/3=-17655

luyuanhong

问 一个多位正整数，与数字次序倒过来写的正整数相减，为什么相减的结果能被 3 整除？

答  其实这样两数相减的结果，不仅能被 3 整除，而且必定能被 9 整除。

    下面用一个例子来说明为什么：

    设原来的多位正整数是         36598 = 3×10000 + 6×1000 + 5×100 + 9×10 + 8 。

    将数字次序倒过来写的数是  89563 = 8×10000 + 9×1000 + 5×100 + 6×10 + 3 。

    这两数相减，就是

     36598 - 89563

  = 3×10000-3 + 6×1000-6×10 + 5×100-5×100 + 9×10-9×1000 + 8-8×10000

  = 3×(10000-1) + 6×(1000-10) + 5×(100-100) + 9×(10-1000) + 8×(1-10000)

  = 3×9999 + 6×990 + 5×0 + 9×(-990) + 8×(-9999)

  = 3×1111×9 + 6×110×9 - 9×110×9 - 8×1111×9

  = (3×1111 + 6×110 - 9×110 - 8×1111)×9 。

  可见，这样两数相减，所得的结果必定是 9 的倍数，所以必能被 9 整除。

  9 的倍数也是 3 的倍数，当然也能被 3 整除。