求一个残缺圆的半径

TedGao

题：如图的一个残缺圆，圆心为A，另AB=H;BC=M,CD=d;AE=R; 已知M=2.1mm； d=20mm， 求残缺圆的半径R。

TedGao

注：上面的三个内部圆相切，并且都是外残缺圆的内切圆

shuxuestar

修正一下，还要加上内切小圆半径才等于大圆半径。

王守恩

\(记∠KAE=2a\)
\(\frac{20*2}{\sin(90^\circ)}=\frac{2.1}{\sin(a)}\)
\(\frac{20*2}{\sin(2a)}=\frac{R-20}{\cos(a)}\)
\(R=\frac{8420}{21}\)

TedGao

shuxuestar 发表于 2022-5-12 22:21

结果其实是105.238；  计算方式：  R=d(d+M)/2M=20(20+2.1)/(2*2.1)mm=105.238mm,   求验证方式

shuxuestar

TedGao 发表于 2022-5-13 08:19
结果其实是105.238；  计算方式：  R=d(d+M)/2M=20(20+2.1)/(2*2.1)mm=105.238mm,   求验证方式

这个图像就是验证啊， 按实际尺寸画的， 你可以用几何画板验证数据正确性。

shuxuestar

左边这个圆内告诉你求解方法, 右边是计算过程。 不过求出的是内圆半径R-d， 加上d就是大圆半径。

王守恩

shuxuestar 发表于 2022-5-13 10:51
发现了一点小问题，已修正

详细一点。
\(记∠KAE=2a\)
\(\frac{20*2}{\sin(90^\circ)}=\frac{2.1}{\sin(a)}\Longrightarrow\sin(a)=\frac{21}{400}\)
\(\frac{20*2}{\sin(2a)}=\frac{R-20}{\cos(a)}\Longrightarrow\frac{20}{\sin(a)}=R-20\)
\(R=20+\frac{20}{\sin(a)}=20+\frac{20*400}{21}=\frac{8420}{21}=400.952380952380\)

shuxuestar

王守恩 发表于 2022-5-13 12:20
详细一点。
\(记∠KAE=2a\)
\(\frac{20*2}{\sin(90^\circ)}=\frac{2.1}{\sin(a)}\Longrightarrow\sin(a ...

        这个推导估计只有你能看懂， 省略不少东西。

王守恩

shuxuestar 发表于 2022-5-13 13:11
这个推导估计只有你能看懂， 省略不少东西。

嗨！我这个推导可是从你的7#生出来的！
在直角三角形(2个红色圆心加m)中，
\(\frac{20*2}{\sin(90^\circ)}=\frac{2.1}{\sin(a)}\Longrightarrow\sin(a)=\frac{21}{400}\)
在等腰三角形(2个红色圆心加A)中，
\(\frac{20*2}{\sin(2a)}=\frac{R-20}{\cos(a)}\Longrightarrow\frac{20}{\sin(a)}=R-20\)
\(R=20+\frac{20}{\sin(a)}=20+\frac{20*400}{21}=\frac{8420}{21}=400.952380952380\)