ABCD是正方形，M是DC中点，N∈BC，NB=3NC，P∈MC，PN⊥AN，K是MN中点，证:∠PAM=∠KAN

天山草

下面这个平面几何题是以前加拿大某中学数学杂志面向全世界的征解题。

此题并不难，但要求解答精彩有趣。杂志共收到 22 份答卷，解答全都正确。该杂志采纳的其中三个解答中，

有一个是中国的彭翕成博士给出的。

题目如下： ABCD 是一个正方形，M 是 DC 的中点，N 点在 BC 上且 NB = 3 NC，P 在 MC 上且 PN ⊥ AN。

如果 K 是 MN 的中点，证明 ∠PAM = ∠KAN。

天山草

我先用一个最不需要动脑子的方法、即复平面解析几何法做一下。

王守恩

\(\displaystyle\frac{\cos∠PAM}{\cos∠KAN}=\frac{\big((\sqrt{20})^2+(\sqrt{5^2+(\frac{5}{4})^2}\ \ )^2-(\frac{5}{4})^2\big)/\big(2*\sqrt{20}*\sqrt{5^2+(\frac{5}{4})^2}\ \big)}{\big(5^2+(\sqrt{(\sqrt{20})^2+(\frac{\sqrt{5}}{2})^2}\ \ )^2-(\frac{(\sqrt{5}}{2})^2\big)/\big(2*5*\sqrt{(\sqrt{20})*(\frac{\sqrt{5}}{2})^2}\ \big)}=1\)

\(AB=4\ \ \ BN=3\ \ \ AN=5\ \ \ CP=\frac{3}{4}\ \ \ PM=PN=\frac{5}{4}\ \ \ MN=\sqrt{5}\ \ \ MA=\sqrt{20}\)

maohui855

假设正方形边长为4a，易求得：
RT△AMK中：AM=2√5a, MK=(√5/2)a
RT△ANP中：AN=5a,NP=(5/4)a
∵AM:MK=AN:NP
∴RT△AMK与RT△ANP相似
∴∠MAK=∠NAP
∴∠MAP=∠NAK

shuxuestar

shuxuestar

应该是为有趣这题用了直角三角形比: 1/2; 3/4/5. 我将其化为整数显示出来............

王守恩

\(\displaystyle\frac{\tan∠PAM}{\tan∠KAN}=\frac{\tan∠KAM}{\tan∠PAN}=\frac{\big(\frac{\sqrt{5}}{2}\big)/\big(\sqrt{20}\big)}{\big(\frac{5}{4}\big)/\big(5\big)}=1\)

\(AB=4\ \ \ BN=3\ \ \ AN=5\ \ \ CP=\frac{3}{4}\ \ \ PM=PN=\frac{5}{4}\ \ \ MN=\sqrt{5}\ \ \ MA=\sqrt{20}\)

王守恩

来个复杂一点的(我们要的是一条路!)。

\(\frac{△KAM面积}{△PAN面积}=\frac{\sqrt{20}*\frac{\sqrt{5}}{2}}{5*\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{20}*\sqrt{(\sqrt{20})^2+(\frac{\sqrt{5}}{2})^2}*\sin(∠KAM)}{5*\sqrt{5^2+(\frac{5}{4})^2}*\sin(∠PAN)}\)

\(解得：\frac{\sin(∠KAM)}{\sin(∠PAN)}=1\)

天山草

加拿大那个数学杂志所采纳的三个解答如下：

luyuanhong

楼上 天山草 的帖子很好！已收藏。