关于两个相异的特征值对应的两组特征向量彼此互相独立的证明是否存在简化版？

wufaxian

问题如下图，λ1 λ2是矩阵两个相异的特征值，各对应两组特征向量也互相独立。 关于这个结论视频中有严谨的详细的证明过程。证明过程比较复杂在此不赘述。我的问题是，当我们已经有了如下结论：“相异的特征值对应的特征向量彼此互相独立。”
可否利用这个现成的结论，简单地证明上述结论呢？
α1和所有β对应不同的两个特征值λ1 λ2，因此，α1与所有β线性无关，以此类推，所有α与所有β彼此线性无关。命题得证。这样证明有什么不对吗？