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连续合数格林姆猜想的证明
原创:王保平
简介: 续合数猜想-格林姆猜想,它于上世纪76年提出,至今无人证明出来;原猜想内容: 连续k个合数能找出k个不同的素因子分别整除各个合数。一段长度为k的连续合数:n+1,n+2,n+3,,,,,, n+k;至少含有k个素因子分别整除各个合数。
第一部分:证明猜想所用涉及的基础理论
1,连续合数的基本形态:
连续合数存在于自然数列中两个相邻素数之间,连续合数的长度k存在下限,且均为2的整数倍,设k=2t, 当t=1时,p1,p2为连续素数或孪生素数,p2-p1=2; 所以连续合数的长度总有:k=2n≧4,而实际上p1,p2之间只有3个连续合数,所以:k=p2-p1-1; 我们称之为连续合数的基本形态;可用a,b,c表示,指定a<b<c, 区间形态为:p1,a,b,c,p2,可表示为{a,b,c},此基本连续中,k=3。
2、基本连续形态的特征与规律:
如n+1, n+2, n+3,,,,,,,n+k,是一段连续合数,那么n中包含或可分解出k内的所有素数;这里指的是区间{1→k}内从2开始的依次出现的所有素数,总数为π(k);也就包含了这段区间所有素数的阶乘:p!=2*3*5*,,,*p(k);也可将p(k)!和n等价看待,n=p(k)!
由于不能确定n+1一定是一个合数,假设p(k)=2*3=6,我们可得到最小的一段连续合数:6+2=8;6+3=9;6+4=10;最小连续合数区间{8,9,10};这就是连续合数的基本形态,稍加归纳总结,设n=6x,我们可以构建此连续合数的形态{6x+2, 6x+3, 6x+4},也即{a,b,c}形态是两个相邻素数之间最基本也是最普遍的连续合数形态。
3、两种特殊的连续合数形态:
1)、6x±1,我们知道所有的素数都存在于这个数列里,但如果6x+1或6x-1有一个或者同时为合数时也可以和上述基本连续形态连接成更长的连续合数区间,同理我们可用{d,e,f}表示,如果d或f为合数那么其素因子肯定是大于3的。同时,d,f可以是p^n的形态。
2)、因p^n为奇数合数,其相邻数一定为偶数,所以可以构成长度为3的另一种合数连续形态:p^n-1, p^n, p^n+1。如5^2=125,形成连续合数区间{124,125,126}。
4、连续合数的构成模式:
自然数连续合数的基本构成模式:1)、含有2、3两个素因子的基本模式,占比最高的模式: {a,b,c};2)、由{a, b, c}和{ d,e, f} 相邻连接或部分连接构建的连续合数区间模式:{e, f, a, b, c}或{ d, e, f, a, b, c},所有的合数区段都是按同一个模式构建的。{a、b、c}、{d、e、f };两个模式反复连接构成了连续合数区间。其中:b=6x+3,e=6x, a、c、d、f均为偶数。
连续合数本质是两个相邻素数的差,或者说素数无法覆盖的区间,在指定范围内连续合数总是一个闭合区间,至多k个有限元素的集合。
P2-p1={a、b、c、d、e、f、a、b、c、、、、、}共k个连续合数;
示例如下:
P2-p1=4-1=3 ----[a,b,c]
P2-p1=6-1=5 ----[a,b,c,d,e]
P2-p1=8-1=7 ----[a,b,c,d,e,f,a]
P2-p1=10-1=9 ----[a,b,c,d,e,f,a,b,c]
P2-p1=12-1=11----[a,b,c,d,e,f,a,b,c,d,e]
P2-p1=14-1=13----[a,b,c,d,e,f,a,b,c,d,e,f,a] 依次类推。
4、自然数的素因子迭加指数原理:
1)、自然数素因子迭加指数:任意非零正整数都可以表示为素数的迭加指数状态,表示为H(t),t为某一自然数的迭加状态指数,在不重复计数的情况下迭加指数等于该数不包括自身的所有素因子的数量。如有2个不同的素因子迭加指数为2,例如;H(6)=2; H(30)=2*3*5=3; 单个素数或素数的1次方,迭加指数为0,表示为:H(P)=0 ; 如果是素数的n次方迭加指数则为1,表示为:H(p^n)=1;如5^3表示为H(5^3)=1,依次类推。
2)、根据素数迭加指数理论,可将自然数分为3种:1、迭加指数为0的素数;2、迭加指数等于1的素数的n次方;3、迭加指数等于或大于2的合数。
A: H(p)=0, B: H(P^n)=1, C: H(P1*P2*P3*...*Pn)=n
3)、因为素因子都只有1个,A、B类型具有同一性,但B类型是特殊的合数,素因子只有1个,但可以无限迭加;如,3和3^n; 7和7^n, 11和11^n,这里的同一性指的是对自身长度的连续刻画。
4)、若干个连续合数中所有不重复计算的素因子总数称为连续合数的总体迭加指数;表示为H{n,n+1,n+2,,,,,,,n+k}=k(n) 。
5、相邻正整数互素定理:
自然数连续的模式是加法,0+1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4,,,,,,,所以相邻间距为1是自然数连续的基本形态;相邻数组(n, n+1)由于间距总是1,所以相邻数不存在任何大于1的共同素因子,任意两个相邻自然数总是互素的,也即: gcd(n,n+1)=1。
互素数为数学中的一种概念,即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数。公因数只有1的两个非零自然数,叫做互素数。互素数的基本判定:
1、相邻的两个非零自然数是互素,如(4,5),也即:gcd{n,n+1}=1;
2、相邻的两个奇数互素,如(9, 11);也即:gcd{2n-1,2n+1}=1;
3、公差为4的两个奇数互素,如(15,19),也即:gcd{2n-2,2n+2}=1;
4、相邻偶数在约去2后所得是相邻自然数n,n+1, 显然也是互素的,也即:
gcd{m/2, (m+2)/2}=1;
连续的自然数是素数和合数交互增加的数列,素数的的素因子只有1和它本身,合数则是至少2个素数的乘积或者其自身的n次方。
第二部分,连续合数格林姆猜想的证明
格林姆猜想的原本阐述: 连续k个合数能找出k个不同的素因子分别整除各个合数。我们可以这样解释:连续k个合数,每个合数中至少包含1个不同的素因子。这个猜想给出的是连续合数不相同素因子的下限,k个合数每个合数至少有1个素因子。
连续合数存在于两个相邻素数p1,p2之间,对于连续合数的个数k,总是有:
K=p2-p1-1;
连续合数区段一般表达:n+1,n+2,n+3,,,,,,n+k;因素数的后继数是偶数,所以这段连续合数的首项和末项均为偶数。
连续合数是自然数的一部分闭合区间,所以相邻的连续合数也必然互素,即两个相邻合数不存在任何相同的素因子。
合数构成模式分为两种:素数自身连续迭加,与不同素数的连续迭加;第一种迭加指数总是1, 也即:H(P^n)=1; 第二种的迭加指数等于不重复计数不相同素因子的个数,显然至少有2个,也即:H(P1*P2*P3*...*Pn)=n (n≧2)。
显见,格林姆猜想成立的必要条件是k个合数的总体迭加指数等于或大于k。即在不重复计数的情况下所有素因子之和等于或大于k。
连续合数区段可简化表达为连续合数的基本形态:{e, f, a, b, c, d, e’},此时k=7; 则我们只要证明连续合数总体迭加指数之和等于或大于7即可。
H(e→e’) ≧ 7
一、一般意义上的证明
1、连续合数的一般形态下上式成立;
连续合数的一般形态迭加指数H(x)≧2, 上式如果不存在p^n的合数形态则所有合数素因子可重复计数的情况下至少等于或大于14,因连续合数两两互素,除去重复存在的最小素因子2、3、5等每个数还至少存在1个不同的素数。
2、上式如果存在反例只有一种可能的情况;7个合数均为p^n的形态且出现至少2个相同素数的n次幂。根据已经被证明的卡塔兰猜想:不存在3个连续自然数均为方幂数。所以上述情况在这个长度是不可能存在的。
我们在一般意义上证明了连续合数格林姆猜想。
二、绝对意义上的证明
以下我们从合数的几种基本形态证明格林姆猜想绝对意义上的成立;
1、合数的基本形态: {a,b,c}(k=3)
{a,b,c}={6n+2, 6n+3, 6n+4},(k=3}
只须证明H {a,b,c}≧3即可,不存在方幂的一般形态下:
因: Gcd(a,b)=gcd(b,c)=gcd(a/2,c/2)=1
已知已有2个不同的素因子(2,3),因a,b,c的迭加指数均等于或大于2,所以必有大于2,3的素因子存在;故:H {a,b,c}≧3
根据对卡塔兰猜想的证明只存在1组连续自然数均为方幂形态,即:
{2^3,3^2}={8,9},此时处于合数基本形态的最小数值{8,9,10 },如果8,9的后继数依然为2或3的方幂,则是否定格林姆猜想的一个反例,但这是不可能存在的形态,因:2^4=2*2^3;显然H{8,9,10 }=3。
2、合数的特殊或稀少形态:{d,e,f}={6n-1,6n,6n+1},一般形态下:
Gcd(d,e)=gcd(e,f),所以d,f的素因子均大于3,且至少有4个不同的素因子,所以:H{d,e,f}≧3, d或f可能是p^n形态,但不会同时出现,因e本身就至少有2个素因子(2,3)所以不影响猜想的成立。
另一种形态是{p^n-1, p^n, p^n+1},这种形态的特殊情况等同于{a,b,c}形态中的特例:{8,9,10};不需要另作证明。
因连续合数是上述几种合数基本形态的全部或部分自然连接,猜想既然在基本形态时成立,在由几个或更多的基本形态连接构成的更长的k个连续合数时也一定成立。
我们得以总结出连续合数迭加指数下限公式:
H{(n+1)→(n+k)}≧k
连续合数格林姆猜想升级为连续合数格林姆定理:
连续k个合数能找出k个不同的素因子分别整除各个合数;或连续k个合数总体迭加指数的下限为k。 |
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