求与已知椭圆 x^2／a^2+y^2／b^2=1 相切的中心在原点的椭圆

dodonaomikiki

已知椭圆
             \(  \frac{x^2}{4}  +  \frac{y^2}{1}  =1\)      



针对这个椭圆，作新的椭圆，新椭圆与原来的椭圆相切！

内切，外切皆可

【进一步追问】这种“统一的”外切或内切椭圆方程，是怎么得到的？

dodonaomikiki

原椭圆方程

dodonaomikiki

下面是一些个解

个解1

dodonaomikiki

个解2

运用了数学软件来凑

dodonaomikiki

个解3

运用了数学软件来凑

dodonaomikiki

My   question

这种统一的椭圆方程，是怎么得到的？【内切，外切，  或者兼之，都可以】

dodonaomikiki

:D:D请教老师！
非常感谢！

shuxuestar

这是一个好问题！

shuxuestar

这个问题等价为两个二元二次方程有两个交点，解满足（x1+x2)=0 ;(y1+y2)=0

用维达根式判断，迅速可解出答案。

shuxuestar

设两二次方程为：1. b*y^2 + ax^2 + cxy + d = 0, 2. -m^2*n^2 + m^2*x^2 + n^2*y^2 = 0

y^2 = m^2*(n^2 - x^2)/n^2 带入1得：
(b*m^2*(n^2 - x^2)/n^2 + ax^2 + d)^2 = c^2*x^2*(n^2 - x^2)*m^2/n^2

(a*n^4 + (-2*a*b - c^2)*m^2*n^2 + b^2*m^4)*x^4
+ (((c^2*d^2 + 2*a*b)*m^2 + 2*a*d)*n^4 + (-2*b^2*m^4 - 2*b*d*m^2)*n^2)*x^2
+ (b^2*m^4 + 2*b*d*m^2)*n^4 = 0

令x^2=y
(a*n^4 + (-2*a*b - c^2)*m^2*n^2 + b^2*m^4)*y^2
+ (((c^2*d^2 + 2*a*b)*m^2 + 2*a*d)*n^4 + (-2*b^2*m^4 - 2*b*d*m^2)*n^2)*y
+ (b^2*m^4 + 2*b*d*m^2)*n^4 = 0
判断式y1+y2="(-b/a)"=0，b=0.  
(((c^2*d^2 + 2*a*b)*m^2 + 2*a*d)*n^4 + (-2*b^2*m^4 - 2*b*d*m^2)*n^2)=0
两方程系数满足下式：
c^2*d^2*m^2*n^2 + 2*a*b*m^2*n^2 - 2*b^2*m^4 + 2*a*d*n^2 - 2*b*d*m^2 = 0
至于具体数值，带入即可。
可解出：（x1^2+x2^2=0） 并不正确。

应使x1^2=x2^2；两根x1，x2平方相等 ，即b^2-4ac=0,
可代入前面算式去运算得到结论。在这不做运算。