四驾马车殊途同归

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四驾马车殊途同归

cuikun-186

每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和
崔坤
中国青岛即墨，266200，E-mail:cwkzq@126.com
摘要: 数学家刘建亚在《哥德巴赫猜想与潘承洞》中说：“我们可以把这个问题反过来思考, 已知奇数N可以表成三个素数之和， 假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3， 那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。”， 直到2013年才有秘鲁数学家哈罗德贺欧夫格特彻底证明了三素数定理。
关键词:三素数定理，奇素数，加法交换律结合律
中图分类号：O156 文献标识码： A
证明：
根据2013年秘鲁数学家哈罗德·贺欧夫格特已经彻底地证明了的三素数定理：
每个大于等于9的奇数都是三个奇素数之和，每个奇素数都可以重复使用。
它用下列公式表示：Q是每个≥9的奇数，奇素数：q1≥3，q2≥3，q3≥3，
则Q=q1+q2+q3
根据加法交换律结合律，不妨设：q1≥q2≥q3≥3，
则Q-3=q1+q2+q3-3 显见：有且仅有q3=3时，Q-3=q1+q2，否则，奇数9，11，13都是三素数定理的反例。
即每个大于等于6的偶数都是两个奇素数之和
推论Q=3+q1+q2，即每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和。
我们运用数学归纳法做如下证明：
给出首项为9，公差为2的等差数列：Qn=7+2n：{9,11,13,15,17,.....}
Q1= 9
Q2= 11
Q3= 13
Q4= 15
.......
Qn=7+2n=3+q1+q2,(其中奇素数q1≥q2≥3，奇数Qn≥9，n为正整数）
数学归纳法：
第一步：当n=1时 ，Q1=9 时 ，Q1=9=3+q1+q2=3+3+3成立
第二步：假设 ：n=k时，Qk=3+qk1+qk2成立,（奇素数：qk1≥3，qk2≥3）
第三步：当n=k+1时,Q（k+1）=Qk+2=3+qk1+qk2+2,
此时有且仅有2种情况：
A情况:qk1+2不为素数或者qk2+2不为素数时，Qk+2=Q（k+1）=5+qk1+qk2
即每个大于等于11的奇数都是5+两个奇素数之和，
这也就同步证明了每个大于等于6的偶数都是两个奇素数之和

即与“每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和”是等价的
即Qk+2=3+qk1+qk2+2=5+qk1+qk2=3+qk3+qk4，（奇素数：qk3≥3，qk4≥3）
B情况:
(1)若qk1+2为qk1的孪生素数P,
则：Qk+2=3+P+qk2,即每个大于等于11的奇数都是3+两个奇素数之和
(2) 若qk2+2为qk2的孪生素数P”,
则：Qk+2=3+P”+qk1，即每个大于等于11的奇数都是3+两个奇素数之和
综上所述，对于任意正整数n命题均成立，即：每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和
结论：每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和，Q=3+q1+q2，（奇素数q1≥q2≥3，奇数Q≥9）


参考文献：
[1] Major Arcs for Goldbach's Theorem. Arxiv [Reference date 2013-12-18]
[2] Minor arcs for Goldbach's problem．Arxiv [Reference date 2013-12-18]

cuikun-186

r2(N)≥[N/(lnN)^2]

cuikun-186

cuikun-186 发表于 2022-5-21 09:53
r2(N)≥[N/(lnN)^2]

r2(N)≥[N/(lnN)^2]是下限值

cuikun-186

运用双筛法证明：每个大于等于6的偶数都是2个奇素数之和

                                               崔坤

中国青岛，266200，E-mail:cwkzq@126.com

摘要：根据古老的埃氏筛法推出双筛法，对所得真值公式：r2(N)=(N/2)∏mr进行下限值估计，

从而证明了r2(N)≧[N/(lnN)^2],即证明了每个大于等于6的偶数都是2个奇素数之和

关键词：埃氏筛法，双筛法，素数定理，共轭数列,真实剩余比

                                         Cuikun

Qingdao,China,266200, E-mail:cwkzq@126.com

The double screen method is used to prove that:

Every even number greater than or equal to 6 is the sum of two odd primes

Abstract: the double sieve method is derived from the ancient Ehrlich sieve method,

and the lower limit of the truth formula: r2(N)=(N/2)∏mr is estimated.

It is proved that：r2 (N) ≥ [N/ (lnN) ^ 2],

That is, it is proved that every even number greater than or equal to 6 is the sum of two odd primes

Key words: Ehrlich sieve method, double sieve method, prime theorem, conjugate sequence,True residual ratio

证明：

对于共轭互逆数列A、B:
A:｛1,3,5,7,9,……,（N-1）｝
B:｛（N-1）,……,9,7,5,3,1｝

双筛法的步骤：
首先给出：偶数N=2n+4，建立如下互逆数列：
首项为1，末项为N-1,公差为2的等差数列A
再给出首项为N-1,末项为1，公差为-2的等差数列B
显然N=A+B
根据埃氏筛法获得奇素数集合P：
｛1，3，5，…，Pr｝,Pr<N^1/2
为了获得偶数N的(1+1)表法数，按照双筛法进行分步操作：
第1步：将互逆数列用3双筛后得到真实剩余比m1
第2步：将余下的互逆数列用5双筛后得到真实剩余比m2
第3步：将余下的互逆数列用7双筛后得到真实剩余比m3
…
依次类推到：
第r步：将余下的互逆数列用Pr双筛后得到真实剩余比mr
这样就完成了对偶数N的求双筛法（1+1）表法数，根据乘法原理有：
r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr
即r2(N)=(N/2)∏mr

例如：
[√70]=8，｛Pr｝={1,3,5,7},
3|/70，m1=13/35
5|70, m2=10/13
7|70, m3=10/10
根据真值公式得：
r2(70)
=(70/2)*m1*m2*m3
=35*13/35*10/13*10/10
=10
r2(70)=10


分析双筛法的逻辑和r2(N)下限值：

双筛法本质上第一步:先对A数列筛选，根据素数定理，A中至少有[N/lnN]个素数，

即此时的共轭互逆数列AB中至少有[N/lnN]个奇素数

第二步:再对B数列进行筛选，筛子是相同的1/lnN

由此推得共轭数列AB中至少有:r2（N）≥[N/（lnN）^2]个奇素数。


例如：70

第一步:先对A数列筛选，A中至少有[N/lnN]=[70/ln70]=16个奇素数,π(70)=19,

即此时的共轭互逆数列AB中至少有[N/lnN]=[70/ln70]=16个奇素数。

（见下图）787


第二步:再对B数列进行筛选，筛子是相同的1/ln70,由此推得共轭数列AB中至少有:

r2（70）≥[70/（ln70）^2]=3个奇素数,r2(70)=10

（见下图788）


不难看出所给的数列一共有3个，

第一个是A数列，其中至少有N/lnN个奇素数；

第二个是与A共轭的B数列，其中至少有[N/lnN]个奇素数；

第三个是AB数列,其中至少有2[N/lnN]个奇素数。

结论:r2（N）≥[N/（lnN）^2]≥1个奇素数，即每个大于等于6的偶数N都是2个奇素数之和。

参考文献：

[1]华罗庚，《数论导引》，科学出版社，1957-07

[2]王元，《谈谈素数》，哈尔滨工业大学出版社，2011-3

[3]李文林，《数学瑰宝——历史文献精选》，科学出版社，1998 年，第 368 页