求二次方程 x^2-2xy+3y^2-4x+5=0 的整数解

dodonaomikiki

北大自主命题的一个题目

【PEKING   UNI,   2021】求整数解

luyuanhong

题  求二次方程 x^2 - 2xy + 3y^2 - 4x + 5 = 0 的整数解。

解  原方程可化为

  0 = x^2 - 2xy + 3y^2 - 4x + 5

    = (x^2-2xy+y^2-4x+4y+4) + 2(y^2-2y+1) - 1

    = (x-y-2)^2 + 2(y-1)^2 - 1 。

即有

     (x-y-2)^2 + 2(y-1)^2 = 1 。

如果 y-1≠0 ，则必有 2(y-1)^2≥2 ，方程左边必定≥2 ，不可能等于 1 。

所以必有 y-1 = 0 ，即必有 y = 1 。

将 y = 1 代入方程，得 (x-1-2)^2 + 2(1-1)^2 = 1 ，即

  (x-3)^2 = 1 ，x-3 = ±1 ，x = 3±1 。

所以，本题有下列两组整数解：

（1）x = 2 ，y = 1  或 （2）x = 4 ，y = 1 。

波斯猫猫

题：求二次方程 x^2-2xy+3y^2-4x+5=0 的整数解 。

思路： x^2-2xy+3y^2-4x+5=0 ，即x^2-2(y+2)x+3y^2+5=0(x,y∈Z)。

故，判别式△=4(y+2)^2-4(3y^2+5)=4-8(y-1)^2必是完全平方数。

即y=1。代之有x^2-6x+8=0 ，解得x = 2 ，或 x = 4 。

故，解为x = 2 y = 2， 或 x = 4 y = 4 。

波斯猫猫

题：求二次方程 x^2-2xy+3y^2-4x+5=0 的整数解 。

思路： x^2-2xy+3y^2-4x+5=0 ，即x^2-2(y+2)x+3y^2+5=0，

或  (x-y-2)^2 + 2(y-1)^2 = 1 。令x-y-2=cosθ，√2(y-1)=sinθ。

因x,y∈Z，显然，仅当sinθ=0时，有y=1。此时x=3+cosθ，即x=2，或x=4。

故，解为x = 2 y = 2， 或 x = 4 y = 4 。

风花飘飘

手工分解了一下，也计算机验证了……

(x-y)^2+(x-y)^2+(x+y)^2+(x-2)^2+(x-4)^2-(2*x-2)^2-11=0

风花飘飘

这是手工解出来的，验根正确！
目前没发现有任何数学软件能给出这个结果。

风花飘飘

风花飘飘

够流氓！二次方程 x^2-2xy+3y^2-4x+1=0 咋办？  

dodonaomikiki

风花飘飘 发表于 2022-5-23 02:50
够流氓！二次方程 x^2-2xy+3y^2-4x+1=0 咋办？

老师解答的极好啊！
因为规定啦x,y   是整数，所以，陆老师解得极好


至于复数域内，也可以尝试啊！
谢谢

风花飘飘