二阶常系数微分方程为什么上来就可以设解是\(y=e^{ \lambda t}\)

wufaxian

请看下图红框中。直接设\(y=e^{ \lambda t}\)   ,虽然后面的解题过程都合里。但是为什么一上来就可以设方程的解是\(y=e^{ \lambda t}\) 呢？在微积分课程中求解一阶常系数微分方程\(\frac{dy}{dt}=ky\)   求得y=\(\pm e^c\ast e^{kt }\)   可是有严格推导的。到了二阶常系数方程怎么能一上来就设解为\(y=e^{ \lambda t}\)这种形式呢？


   

yichang

一阶常系数微分方程 \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=ky\) 的解是 \(y=Ce^{k t} \)，其中 \(C\) 是任意常数。

对于二阶常系数微分方程
\[\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}+a\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+by=0\]
不严格地，把微分算符 \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\) 看作一个变量，提取公因式：
\[\left(\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}+a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}+b\right)y=0\]
分解二项式：
\[\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-\alpha_1\right)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-\alpha_2\right)y=0\]
其中 \(\displaystyle \alpha_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}\)。原二阶常系数微分方程被“分解”为两个一阶常系数微分方程，因此我们可以套用一阶常系数微分方程的解的形式 \(y=Ce^{k t} \)，去试原二阶常系数微分方程的解。

以上过程可通过算子代数的方法进行严格化定义，这里不贅述。