对一道高考题及其解的质疑

刘付来

题目：已知函数\(f\left( x\right)\)的定义域为R，\(f\left( x+2\right)\)为偶函数，\(f\left( 2x+1\right)\)为奇函数。则：

A：\(f\left( \frac{-1}{2}\right)=0\)；B：\(f\left( -1\right)=0\)；C：\(f\left( 2\right)=0\)；D；\(f\left( 4\right)=0\)

答案：B
解析：（分析）推导出函数\(f\left( x\right)\)是以4为周期的周期函数。由已知条件得出\(f\left( 1\right)=0\)，结合已知条件可得出结论
【详解】：因为函数\(f\left( x+2\right)\)为偶函数，则\(f\left( 2+x\right)=f\left( 2-x\right)\)，可得
\(f\left( x+3\right)=f\left( 1-x\right)\)
因为函数\(f\left( 2x+1\right)\)为奇函数，则\(f\left( 1-2x\right)=-f\left( 2x+1\right)\)，可得
\(f\left( 1-x\right)=-f\left( x+1\right)\)
所以\(f\left( x+3\right)=-f\left( x+1\right)=f\left( x-1\right)\)，
即\(f\left( x\right)=f\left( x+4\right)\)
故函数\(f\left( x\right)\)是以4为周期的周期函数
因为\(F\left( x\right)=f\left( 2x+1\right)\)为奇函数，则\(F\left( 0\right)=f\left( 1\right)=0\)
故\(f\left( -1\right)=-f\left( 1\right)=0\).其它三个选项未知，故选B。

疑一：\(f\left( x+2\right)\)是偶函数，\(f\left( 2x+1\right)\)是奇函数，两个完全不相同的函数用相同的函数符号\(f\left( \right)\)
来表示，与函数符号的规定相悖。
疑二：函数\(f\left( x+2\right)\)是一个简单的复合函数，它是由\(f\left( u\right)，u=x+2\)复合而成的，且\(f\left( u\right)\)是偶函数
所以\(f\left( -u\right)=f\left( u\right)\)，即\(f\left[ -\left( x+2\right)\right]=f\left( x+2\right)\)，而不是
\(f\left( 2+x\right)=f\left( 2-x\right)\)，（不妨举一个间单的实例验证一下）
同理\(f\left( 2x+1\right)\)是奇函数，则\(f\left[ -\left( 2x+1\right)\right]=-f\left( 2x+1\right)\)，而不是
\(f\left( 1-2x\right)=-f\left( 2x+1\right)\).
疑三：既如此，由偶函数\(f\left( x+2\right)\)导出\(f\left( x+3\right)=f\left( 1-x\right)；\)由奇函数\(f\left( 2x+1\right)\)导出
\(f\left( 1-x\right)=-f\left( x+1\right)\)，两个\(f\left( 1-x\right)\)虽然一模一样，但是它们表示的却是不相同的函数的函数值，一般
情况下它俩是不相等的（只有两函数的图像有交点，交点的横坐标为\(1-a\)时，才有\(f\left( 1-a\right)=f\left( 1-a\right)\)），把它俩
用等号连起来，无形中就把两个不相同的函数等同了，这与题意相悖。
疑四：突然冒出个\(F\left( x\right)\)
既然\(F\left( x\right)=f\left( 2x+1\right)\)为奇函数，且定义域为R，那么它的图像必经过原点，故可得
\(F\left( 0\right)=f\left( 2x+1=0\right)=f\left( 0\right)=0\).
退一步讲，既使\(F\left( 0\right)=f\left( 1\right)=0\)，成立，可导出\(f\left( -1\right)=-f\left( 1\right)=0\)，这就是说，这个奇函数
图像经过（-1,0）和（1,0）两点，且图像又过原点，由此可推断出其函数的周期是2，与周期4相悖。

注：此题是：2021年高考全国2卷数学卷一、8题。请老师斧正。

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