设 k 为实数，已知方程 lg(6x)lg(3x)+k=0 有两个相异正根，求 k 的取值范围和两根之积

wintex

设 k 为实数，已知方程 lg(6x)lg(3x)+k=0 有两个相异正根，求 k 的取值范围和两根之积

波斯猫猫

设 k 为实数，已知方程 lg(6x)lg(3x)+k=0 有两个相异正根，求 k 的取值范围和两根之积。

思路：lg(6x)lg(3x)+k=0，即（lgx+lg3+lg2）（lgx+lg3）+k=0，

(lgx+lg3)^2+(lg2)(lgx+lg3)+k=0。

所以2(lgx+lg3)=-lg2±√[(lg2)^2-4k]。从而k＜(lg2)^2/4。

进而lg(x1)+lg(x2)=-2lg3-lg2，即x1.x2=1/18。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

波斯猫猫

题：设 k 为实数，已知方程 lg(6x)lg(3x)+k=0 有两个相异正根，求 k 的取值范围和两根之积。

思路：lg(6x)lg(3x)+k=0，即（lg3x+lg2）lg3x+k=0，或(lg3x)^2+lg2lg3x+k=0。

因有两个相异正根，故判别式(lg2)^2-4k＞0。即k＜(lg2)^2/4。

设其两根为a和b，由韦达定理有lg3a+lg3b=-lg2，即lg9ab=lg(1/2)，ab=1/18。

wintex

波斯猫猫 发表于 2022-5-27 18:06
题：设 k 为实数，已知方程 lg(6x)lg(3x)+k=0 有两个相异正根，求 k 的取值范围和两根之积。

思路：lg(6 ...

請問
為何不考慮兩正根根之積k>0這條件

nasaliu2012

\(\because\)\(k=-\left( \log x\right)^2-\left( \log18\right)\log x-\log6\log3\)
\(=-\left( \log x+\frac{\log18}{2}\right)^2+\frac{\left( \log18\right)^2}{4}-\log6\log3\)
\(=-\left( \log x+\frac{\log18}{2}\right)^2+\frac{\left( \log6-\log3\right)^2}{4}\le\left( \frac{\log2}{2}\right)^2\)
\(\therefore k<\left( \frac{\log2}{2}\right)^2\)