序列，极限，级数的定义

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序列
设\(S\)为集合，称映射\( a:\mathbb{N}+k\to S\,(a(n+k)=a_{n+k})\)为\(S\)上的序列.
记作\(\{a_n\}\)或\(\{a_n\}_{n=k}^\infty\) 或\(a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots.\)其中\(k\in\mathbb{N}\)叫作起始下标．
当\(S=\mathbb{Q}\)时称\(\{a_n\}\)为有理数列．余类推．

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说白了，序列就是排成队的一些数学对象。每个数学对象\(a_n\)因此就有一个序数\(n\).
因此严格地说，序列是以自然数为定义域的映射. 没有实无穷的集合观就无法定义序列.

用\(B^A\) 表示\(A\)到\(B\)的映射全体，故 \(\{a_n\}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) 表示\(\{a_n\}\) 是一个实数列.


极限
定义：设 \(\{a_n\}\) 是实数序列，
\(\quad\)若\(\,\exists A\in\mathbb{R}\,\forall \varepsilon>0\,\exists N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}\,\forall n>N_{\varepsilon}(|a_n-A|< \varepsilon)\)
\(\quad\) 则称\(\{a_n\}\)收敛到(趋于)极限\(A.\)记作 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A\)
\(\quad\) 通俗地说，就是存在一个定数 \(A\), 对每个整数 \(\varepsilon > 0,\)
\(\quad\) 总有相应的指标\(\,N_{\varepsilon},\) 在它以后序列的项与\(A\) 相差都小于\(\varepsilon.\)
\(\quad\) 再简单些说，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A\) 当且仅当对任意 \(\varepsilon > 0,\;\{a_n\}\)
\(\quad\) 至多有有限项不在开区间\((A-\varepsilon, A+\varepsilon)\) 中.