试证对任一素数 p＞5 存在正整数 n 使 9p｜(10^n-1)

elim

题： 试证对任一素数\(p>5,\)存在正整数\(n\)使\(9p\mid (10^n-1)\).

风花飘飘

p不一定是素数吧，因式分解法：

9*p|(10^n-1)=(10-1)*p|(10^n-1)=(10-1)*p|(10-1)*M=p|M
M=[1+10+10^2+……+10^(n-2)+10^(n-1)]

难不成这个M就是个素数？呵呵……

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我这样来证算比较繁琐复杂啦！
要是moranhuishou老师来证的话，一句话：
问题简单不需证！欧耶！

elim

题： 试证对任一素数\(p>5,\)存在正整数\(n\)使\(9p\mid (10^n-1)\).
证： 因为素数\(p>5,\;{\large\frac{1}{9p}}=0.m_0\ldots m_k\overline{a_1\ldots a_n}\) 是循环小数.
\(\qquad\)即\(\small\displaystyle\frac{1}{9p}=\frac{(10^n-1)(m_0\ldots m_k)+10^k(a_1\ldots a_n)}{10^k(10^n-1)}.\;\;\therefore\;9p\mid(10^n-1).\)

注记：除了\(2,3,5\), 每个素数都是某\(\underset{n 个 1}{\underbrace{11\ldots 1}}\)(repunit)的因子．

luyuanhong

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elim 发表于 2022-6-1 22:27
题： 试证对任一素数\(p>5,\)存在正整数\(n\)使\(9p\mid (10^n-1)\).
证： 因为素数\(p>5,\;{\large\frac{ ...

试证：10^n-1不是完全平方数，n>1。

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M=[1+10+10^2+……+10^(n-2)+10^(n-1)]=光棍儿素数

很早以前就讨论过了这是“光棍儿素数”（也可称“筷子素数”）的吧？

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luyuanhong 发表于 2022-6-1 22:41
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这东西对大量 n 不是素数.
那n啥情况时，它是素数？啥情况时它不是素数？

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p不一定是素数吧，因式分解法：

9*p|(10^n-1)=(10-1)*p|(10^n-1)=(10-1)*p|(10-1)*M=p|M
M=[1+10+10^2+……+10^(n-2)+10^(n-1)]

把10换成2，就与“梅森素数”勾搭上了？




p不一定是素数吧，因式分解法：

9*p|(2^n-1)=(2-1)*p|(2^n-1)=(2-1)*p|(2-1)*M=p|M
M=[1+2+2^2+……+2^(n-2)+2^(n-1)]

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梅森素数M=[1+2+2^2+……+2^(n-2)+2^(n-1)]