试证对任一素数 p＞5 存在正整数 n 使 9p｜(10^n-1)

elim

题： 试证对任一素数\(p>5,\)存在正整数\(n\)使\(9p\mid (10^n-1)\).

elim

题： 试证对任一素数\(p>5,\)存在正整数\(n\)使\(9p\mid (10^n-1)\).
证： 因为素数\(p>5,\;{\large\frac{1}{9p}}=0.m_0\ldots m_k\overline{a_1\ldots a_n}\) 是循环小数.
\(\qquad\)即\(\small\displaystyle\frac{1}{9p}=\frac{(10^n-1)(m_0\ldots m_k)+10^k(a_1\ldots a_n)}{10^k(10^n-1)}.\;\;\therefore\;9p\mid(10^n-1).\)

注记：除了\(2,3,5\), 每个素数都是某\(\underset{n 个 1}{\underbrace{11\ldots 1}}\)(repunit)的因子．

luyuanhong

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