正方形 ABCD 边长为 20 ，Q 点在正方形内，QA=20 且 ∠BQC=135°，求 ΔBQC 的面积

鞋子睿

正方形ABCD边长为20以A为圆心边长为半径画弧，正方形内的弧上有一点Q且∠BQC＝135°.求△BQC面积

王守恩

\(3个未知数(S,BQ,a)，3个方程。\)

\(S=\frac{20*BQ*\sin(a)}{2},\frac{20}{\sin(45^\circ)}=\frac{BQ}{\sin(45^\circ-a)},\)

\(1=\frac{\sin(a)\sin(2a)\cos(45^\circ-a)\cos(45^\circ-a)}{\cos(a)\cos(2a)\sin(45^\circ-a)\sin(45^\circ-a)}=(\frac{\sin∠QBC*\sin∠QAB*\sin∠QDA*\sin∠QCD}{\sin∠QBA*\sin∠QAD*\sin∠QDC*\sin∠QCB})\)

{{S -> 40, BQ -> 4 Sqrt[10], a -> -2 ArcTan[3 - Sqrt[10]]}}

波斯猫猫

提示：令∠BAQ=θ，ΔBAQC和ΔBQC 中利用正弦定理易求出sinθ及cosθ，再用余弦定理易求出BQ，CQ。

luyuanhong

kanyikan

luyuanhong

楼上 kanyikan 的解答很好！已收藏。

波斯猫猫

题：正方形 ABCD 边长为 20 ，Q 点在正方形内，QA=20 且 ∠BQC=135°，求 ΔBQC 的面积。

另一思路（借4楼图）：设r=20，A(0，0)，B(r，0)，C(r，r)，Q(rcosθ，rsinθ)，θ是锐角。

则QC的斜率k=(1-sinθ)/(1-cosθ)，QB的斜率m=-sinθ/(1-cosθ)。

将此代入夹角公式并化简有1=︱(k-m)/(1+km)︱=︱(1-cosθ)/(2-sinθ-2cosθ)︱,或sinθ+3cosθ=3,

即cosθ=4/5。所以，ΔBQC 的面积S=r.QE/2=r(r-rcosθ)/2=400/10=40。

天山草

用复平面解析几何方法做。

令 A 点为复平面坐标系原点，AB 与实轴重合。∠QAB=θ



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