证明：若正整数 k 不含因子 2,5,9 ，则 k 必定是某个 11…1（n 个 1）的因子

elim

题：试证若正整数\(k\)不含因子\(2,\;3.\;5\), 则对某\(n,\;k\)是\(\underset{n个1}{\underbrace{11\ldots 1}}\)的因子

证： 由题没, \(k^{-1}=0.m_0\ldots m_j\overline{a_1\ldots a_n}\) 是循环小数.  
所以有 \(\small\dfrac{1}{k}=\dfrac{(10^n-1)(m_1\ldots m_j)+10^j(a_1\ldots a_n)}{10^j(10^n-1)}\)
故 \( k{\large\mid} \large\frac{10^n-1}{9}\)．

luyuanhong

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