数学的浪漫：端午吃粽谈粽形——四面体？

luyuanhong

数学的浪漫：端午吃粽谈粽形——四面体？

数学经纬网 2022-06-03 15:30 发表于北京

文章转载自微信公众号：科学出版社数学教育




2022 年

五月五日午

送君一枝艾

又到端午艾叶香

全国人民吃粽忙

我说甜粽加糖香

你说咸粽云腿王

作为数学人的你，

今天吃的粽子是咸？

是甜？

是什么形状？

发自灵魂的好奇之问

哈哈。问君粽子是甜是咸？

肯定会掀起一场激烈的口水战。

可问君粽子形状？

大体回答有：竹筒形、长方形、圆锥形、金字塔形、三角形等。但是最常见的还是“四角粽子”，也就是四面体形状的粽子，接下来我们就从几何学角度，来解析一下粽子形状的门道。



四面体在现实生活中不太常见，仅仅听名字也难以想象它的形状，其实它还有个更容易被接受的名字——三棱锥。所有三棱锥都有六条棱，四个顶点、四个面，每个面都是三角形，每个三角形面都与一个角相对，底面是正三角形，其他三个面相等（一定是等腰三角形）的三棱锥，被称为正三棱锥，如果底面和其他三个面完全相等，此时四个面一定都是正三角形，那么这就叫做正四面体。那粽子为啥是这个形状呢？



数学控会说：三角形更有稳定性。

干饭人会说：三角形粽子能一口吃到馅！

哈哈，其实干饭型数学人专门研究了粽子的形状，并从实用的角度分析了其形状的原因。

从实用性来说

用少量的材料就可以做出来。

各地包粽子材料不太一样，但大体都是植物的叶子，叶宽而长韧，但毕竟叶子来源自然生产“散漫”，于是宽度有限。三角形包法只用一片叶子或二片叶子就能包成，而长方形大概就要的三四片叶子。

形状比较合理

三角粽的四个面都能用到完整的叶片，不需要多余的弯折，如果方形的粽子，包裹米粒的叶面要与其他面衔接处太多，容易把米漏出来，为避免漏出米粒就要过度折叠叶子，叶子在顺着植物纤维方向有韧性，但垂直向上是很容易扯破不容易成形。

包法简单，表面积大，容易煮熟

关于粽子形状还有个传说：

最开始，人们纪念屈原，都是直接将米投入河中，后来有人得到屈原托梦说米都被鱼鳖吃掉了，于是人们就想到用粽叶将米包好，包出棱角像菱角一样，鱼鳖就不会吃了。这样做后，屈原托梦说谢谢他。久而久之，这种包法就流传下来了。

无论是从实用角度还是传说来看，很容易明白粽子三角形状的由来。

数学的思考

粽子做成正四面体有什么好处？

长方体、立方体等平行六面体，切下一个角都可以构成四面体。

但是为什么大多数人都不把粽子做成长方体，而是做成有些奇怪的四面体呢？

首先，不同于平行六面体的不稳定性（例如立方体框架可以左右摇晃），四面体的性质非常稳定，只要确定六条棱的长度，就能拼出一个唯一的四面体。因此四面体的粽子更不容易变形。

四角粽子虽然不一定是正四面体，但通常四个面也是相同的等腰三角形，将这个四面体的表面积拆开，可以得到两个相等的菱形，这就意味着用两片相似的细长叶子，正好可以将其包裹住，做到了物尽其用。

正四面体还有个特点，就是拥有四条三重旋转对称轴，六个对称面，每两条对边都是相互垂直的，这就表明，不管在容器中怎样摆盘，粽子们看上去都是整整齐齐的平躺着，不会给人横躺侧卧的感觉。



正三棱锥还有一个重心，同时也是它的外接球体和内切球体的球心，就在顶点与底面重心的连线（高）上，将这条高分为3：1，也就是距离地面四分之一处。所以说，如果用牙签或筷子将粽子扎起来，找准这个点，就最能保证受力均匀，不容易掉下或者碎裂。


粽子

正四面体体积的求法

正四面体的体积如何求？

这是一场穿越时间空间的考证。

粽子从外观上看，不太容易看出它的体积。虽然四面体的体积和圆锥形一样，是三分之一的底面积乘以高，但底面积和高也是不容易拿着直尺就测出来的。

阿基米德测王冠体积的“排水法”当然可以帮您快速地测出体积，但显然操作起来非常麻烦，要准备的材料包也不是太常见，而且粽子湿了之后，剥皮仿佛会更麻烦一些。



其实，对于数学人来说，这时候用到一个特殊的公式，只要知道六条棱的长度，就能知道四面体的体积。这个公式名字叫海伦—秦九韶公式。

这个公式由古希腊和古中国两位数学家分别发现的。

公式的第一位发现者是海伦二世，是古希腊西西里岛（现属于意大利）上的锡拉库萨（又译为叙拉古）城邦国的国王，同时也是一位数学家、测量学家和机械工程师。他在著作《度量论》中就提到了用三角形的三条边求其面积的公式。这本书曾经一度失传，直到 1896 年，有人在君士坦丁堡发现了它的手抄本，并在 1903 年出版。但是五年后的 1908 年，就有人提出，这条公式其实是阿基米德发现的，只是假托海伦国王的名字，不过还没有证实。


（海伦的公式）

不管在古希腊是哪位发现了这个公式，在中国的南宋时期，数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”，主要用来测量三角形的土地面积，和海伦公式基本相同，只是证明方法不太一样。这个公式是 S 等于


（秦九韶的公式）

但是，无论是海伦还是秦九韶得公式都是用来算面积的，要想算体积还需要进一步推演。但是，算出了底面积之后算出高也并不难，假设六条棱分别是 a、b、c、d、e、f ，经过推演，最后可以得出如下公式：





是不是非常有趣？

小小一个四面体的粽子，竟然有这么多几何学知识在其中！

让我们边吃边学、边学边吃，果然唯有美食和学问让人倾倒！

（本文转自网络“知识就是力量杂志”与佚名网络博客）

coolboy

让同时发射的4颗人造卫星在临近卫星轨道上运行，并同时测量卫星所在空间位置的物理参数，这一设计在空间物理领域内近年来已经成了热门方案（如“磁层多尺度探测”（MMS）计划），并给予人类对自然的认知带来了很大的突破。究其原因就是4个顶点形成的几何图形具有有限的体积。

若4颗人造卫星在空间所对应的矢量记为（r1，r2，r3，r4），则该四面体的体积也可表达为
V=|(r1-r4).[(r2-r4)x(r3-r4)]|/6
此外，各类矢量分析及场论公式（如斯托克斯公式）在四面体的特殊情况下的近似表达式也给了系统描述卫星探测资料带来极大的方便。