已知正整数 n 和质数 p 满足 n^3-p^5=p^6+3n-2 ，求有序数对 (n,p)

渣k

波斯猫猫

题：已知正整数 n 和质数 p 满足 n^3-p^5=p^6+3n-2 ，求有序数对 (n,p) 。

思路： n^3-p^5=p^6+3n-2 ，即 (n+2)(n-1)^2=(p+1)p^5。

(1)若p+1是平方数，则p+1=m^2，即p=(m+1)(m-1)，或p=3(此时m=2)。

故(n+2)(n-1)^2=12x81。解得n=10。即(n，p)=(10，3)。

(2)若p^2=(n-1)^2，则p=n-1，且n+2=p^4+p^3，即p+3=p^4+p^3。此时显然无解。

(3)若p^4=(n-1)^2，则p^2=n-1，且n+2=p^2+p，即p^2+3=p^2+p。

解得p=3，n=10。即(n，p)=(10，3)。

综上，有(n，p)=(10，3)。

luyuanhong

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