《四色猜想中染色困局构形的4-染色》概述

zhangyd2007@soh

                                                      《四色猜想中染色困局构形的4-染色》概述

                                                                                   张彧典

     《四色猜想中染色困局构形的4-染色》（英文）已经于2022年3月发表于《应用数学与物理学报》第3期（总第10卷）【1】。
为了让大家简明扼要地了解整个证明，特别做出以下概述。
       众所周知，肯普（kempe）证明d(v)=5时，漏掉了一种复杂构形，即A-C、A-D两条色链相交情形，卡尔--科凯的称之为“染色困局”。
       在这样的染色困局中究竟存在多少不同的构形？这就是从1890年以来无数数学家想解决而一直没有解决的四色猜想的证明难点。
在这些构形中，最著名的有两个：一个就是1890年由赫伍德（Heawood）给出的构形，是这个反例指出肯普证明存在漏洞，即“染色困局”，一个是1921年由埃雷拉（Errera）给出的E构形。
       我们的论文主要是围绕E构形展开的。这是因为，这个构形在已经搜索到的4篇英文论文中都有研究。其中，专门研究Errera构形的周期循环与促成其周期循环的颠倒染色程序之间的内在联系的论文为：
       美国欧文.基特尔（IRVING-KITTELL）1935年在《美国数学学会会刊》上发表的“对已部分染色地图的一组操作”（Bulletin of the American Mathematical Society）【2】 、加拿大哈米斯.卡尔和威廉.科凯在《组合数学 组合计算机》46 (2003), 97-112.上发表的“一种试探式的平面图四染色”（ A tentative plan 4 - dyeing）【3】、英国弗雷德.霍罗伊德和罗伯特.格兰丁.米勒1992年在牛津数学季刊发表的“应该知道的赫伍德范例”（ The Herwood paradigm that you should know）【4】 。

                                                  一、        建立了染色困局构形的数学模型

      在文献2中，作者给出染色困局构形的数学模型，我们沿用了这个模型的对偶图表示形式作为文献1中的数学模型。

                                                    二、        确立了E族构形（4个）

       在文献2中，作者又给出E构形的几种不同变换情形，如图2----图7所示，但是不够系统，统一标准化。我们通过实践，用文献4中给出的“赫伍德颠倒染色程序”（简记为“H染色程序”），对E构形进行4次连续的变换，得到E构形的4个连续变化的构形，并且把它们统一为 “BAB型”的同态构形，组成E族构形（分别记为E1、E2、E3、E4，其中E1就是E构形）。

                                                           三、        完善了引理3.1中的条件

       当对E族4构形分别施行H染色程序时，都发生周期性循环。为什么4个同态构形中，A-C、A-D两条色链的相交状态各不相同，即整个构形的染色图（简称为色图）各不相同，却都在施行H染色程序时发生周期性循环呢？仔细分析，原因是它们具有相同的几何结构-----十折对称。于是丰富了对于“构形”的定义：几何结构+染色图。用这种完整的构形定义考察与文献4中的范例2，命题的条件中只有“色图”是不完善的。
       请看文献3中的引理3.1：
      “当初始染色为CK0时，算法2.1循环，并且以20为一个周期”。
       再看文献4中的范例2证明的定理（不妨称之为引理3.2）：
      “4次逆时针赫伍德颠倒染色（实际是算法2.1）的周期循环，使得E构形的染色周期循环”。
       实践表明，应该分别加上“十折对称”的几何结构这个条件，于是
       把引理3.1完善为：
     “当构形具有十折对称且初始染色为CK0时，算法2.1循环，并且以20为一个周期。”
        把引理3.2完善为：
     “在4次赫伍德颠倒染色（简称H染色程序）时，具有十折对称的E1构形染色发生周期循环。”

                                                               四、        确立了定理3

       在分析献3中的引理3.1与文献4中的范例2时发现，对于同一个E构形的周期性循环的两个证明，互为逆定理。这时，我们想到了高中数学学习过的命题真假性的4种不同组合类型，如果把引理3.1作为原命题，那么引理3.2就是逆命题，因为它们都是真命题，所以可以推断，这个组合中的否命题也是真命题，从而得到定理3：
       当构形为非十折对称且初始染色为CK0时，算法2.1不循环。
       这样，我们找到了 所有非十折对称的染色困局构形都可以4-染色的理论证明。

                                                                  五、        确立了定理4

       二里面已经提到，在对确立的E族4个同态构形分别施行H染色程序时，都会发生周期性循环，无法给它们4-染色。但是仔细考察E族4构形的色图时会发现：E1与E2都包含A-B环，E3与E4都包含C-D环，于是沿用不同的邻角链法（统称为Z-染色程序，可以作为定理4）解决了E-族4构形的正确4-染色问题。
       并且把它作为数学归纳法证明所有十折对称的染色困局构形可以4-染色的基础证明，再运用定理4完成了所有十折对称的染色困局构形可以4-染色的假设证明，从而解决了所有十折对称的染色困局构形的4-染色问题。

                                                                 六、        定理1、2完成了对定理3的验证

       我们发现：在已经正确四色染色的任意极大平面图中，至少存在一个四色顶点四边形。
       于是把它作为定理1，用反证法给出证明。
        同时给出定理1的两个性质定理：
        定理2。四色顶点四边形性质定理；
        （1）一个四色顶点四边形的两条对角链不能同时存在于同一个四色顶点四边形中。
        （2）在四色顶点四边形中，改变已知的对角链只能破坏原构形的几何结构，而不能破坏原构形的色点组合。
         根据这两个性质定理，我们得出十折对称几何结构的非十折对称变换法则：
         把具有十折对称几何结构的染色困局构形中的至少一个四色顶点四边形的已知对角链用它的相反对角链替换，就可以破坏原来染色困局构形的十折对称性，使之变成非十折对称的染色困局构形。
       运用这个法则，不仅可以验证定理3的正确性，而且找到了任意非十折对称染色困局构形4-染色时颠倒染色次数的上限值为9，详细讲，就是总存在一个方向（逆时针颠倒染色或者顺时针染色）上的颠倒染色次数最多9次。
            
        如果有意完整评读这篇论文，请通过邮箱：zhangyd2007@sohu.com联系，或者在数学中国网上找到《四色猜想中染色困局构形的4-染色》（中英文）详细评读。

波斯猫猫

祝贺张老师！

雷明85639720

老张朋友：
1、这一文章写得较好，容易看明白。
2、但不了解四篇英文资料的人，恐怕就难看明白了。
3、“在已经正确四色染色的任意极大平面图中，至少存在一个四色顶点四边形。”这一定理，一定要经过证明。
4、“在已经正确四色染色的任意极大平面图中，至少存在一个四色顶点四边形。”中，前提（条件）是“在已经正确四色染色的任意极大平面图中”，既然是已经进行了正确四染色的极大平面图，那么图中存在不存在这样的“四色顶点四边形”都是无所谓的，因为图已经进行了四染色，不需要再着色了。图已经着好了颜色，还去研究它干什么呢？而现在这里研究的是“还有一个顶点（待着色顶点）未着色的构形”。
5、所以我这里强调的是“在任何极大平面图构形中”这一条件下，图中是不是也“至少存在着一个四色顶点四边形”的问题？并且一定要进行“证明”！
6、“（1）一个四色顶点四边形的两条对角链不能同时存在于同一个四色顶点四边形中。”应改为“一个四色顶点四边形的两条对角线不能同时存在”。“（2）在四色顶点四边形中，改变已知的对角链只能破坏原构形的几何结构，而不能破坏原构形的色点组合。”应改为“在四色顶点四边形中，断开已知的对角线而连通另一条对角线，只能改变原构形的几何结构，而不会改变原构形中任何顶点的颜色”。
7、“把具有十折对称几何结构的染色困局构形中的至少一个四色顶点四边形的已知对角链用它的相反对角链替换，就可以破坏原来染色困局构形的十折对称性，使之变成非十折对称的染色困局构形。"应改为“把具有十折对称几何结构的染色困局构形中的至少一个四色顶点四边形的已知对角线用另一条对角线替换，就可以破坏原来染色困局构形的十折对称性，使之变成非十折对称的染色困局构形。”
8、把据有十折对称几何结构的染色困局构形中的至少一个四色四边形的原有对角线断开，构形不也就转化成了“非十折对称的染色困局构形”了吗？还要连通另一条对角线干什么呢？纯碎是在凑合，多此一举。
9、“运用这个法则，不仅可以验证定理3的正确性，而且找到了任意非十折对称染色困局构形4-染色时颠倒染色次数的上限值为9，详细讲，就是总存在一个方向（逆时针颠倒染色或者顺时针染色）上的颠倒染色次数最多9次。”这也是不对的。
10、如果有一个构形是在两个方向上颠倒次数都是9次的构形，现在给出你已经进行了顺时针方向颠倒了8次后的构形，当然再顺时针颠倒一次就可以解决问题了。但若是对这个给出的构形进行逆时针方向颠倒时，是不是就得需要17次才能角决问题呢？是远大于9的。这说明你给出的颠倒次数的上限值是9是有问题的，并不能反映实际情况。事实上，你、我二人不都已经构造出了颠倒次数大于20次的非十折对称结构的染色困局构形了吗？这你又作何解释呢？

雷明85639720

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雷明85639720

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雷明85639720

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雷明85639720

能否把你的《四色猜想中染色困局构形的4-染色》一文在这里再发一次。

雷明85639720

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