两个函数乘积的积分为什么可以看作内积？

wufaxian

请看下图红框，两个函数乘积的积分为什么可以看作内积？我对内积的理解停留在向量内积。右上方红框给出了内积的性质，在此课中用内积的性质来定义内积。确实内积具有上述性质。两个函数的积分看起来也符合这四条性质。

但是离开了向量，我总是难以理解这两个周期函数乘积的积分为什么也是内积？比如两个向量的内积可以写成\(a\cdot b=a1b1+a2b2+a3b3=\left| a\right|\left| b\right|\cos\theta\)
那两个函数乘积的积分，对应的a1 b1……   是什么呢？   两个向量夹角的余弦又如何计算呢？
视频地址 https://b23.tv/9o1kacE

liangchuxu

它是建立在正交三角函数系基础上的内积运算。它是函数线性空间。定义在线性空间上的内积运算，可以有各种定义。积分是一种。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-6-15 21:32
它是建立在正交三角函数系基础上的内积运算。它是函数线性空间。定义在线性空间上的内积运算，可以有各种定 ...

谢谢回复，请问要理解这种内积是看线性代数的书？还是看微积分的书？有哪本书讲了这方面的知识，可以推荐一下么？

liangchuxu

wufaxian 发表于 2022-6-16 02:34
谢谢回复，请问要理解这种内积是看线性代数的书？还是看微积分的书？有哪本书讲了这方面的知识，可以推荐 ...

线代书中关于内积定义，已具有抽象与普遍意义。将特定函数集合理解为向量空间，定义满足四条运算规则的运算，即构成内积空间。用线性代数方法研究函数的一种方法。