利用傅里叶级数求数项级数的两个疑问

wufaxian

请看下图，利用利用傅里叶级数求数项级数的和。
1、求出的结果是在“f(x)=2+|x|的傅里叶展开”这个特定条件下的结果？还是无条件的结果？即\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)  无条件恒等于\(\frac{\pi^2}{6}\)   如果是无条件的，原因是什么？例如我换一个f(x)=2+tan(x),做傅里叶级数展开，还能得到同样的结果么？

2、图中第二个红框，老师说如果级数不是绝对收敛。级数的和不满足交换律。也就是说级数的和不能拆成 级数奇数项的和+级数偶数项的和？为什么呢？是因为可能出现无穷+无穷的情况么？导致原本收敛的级数和，变成无法求到收敛的结果么？

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：