再谈四色问题

雷明85639720

再谈四色问题
雷  明
（二○二二年六月二十三日）

1、对王旭龙的贴子的再评论：
王旭龙说：一个球面只有一个区域，染一种颜色即可（其实一个区域染不染都可以，因为没有别的区域与其相邻，不和进行区别）；把球面切一刀后，表现为两个“二面体”，有两个面，用两种颜色（有两个区域的地图是地图中的特例“国中之国”的情况，如南非的莱索托的地图，就是只有两个国家的地图，两图之间只有一条环形的边界线，环内是莱索托，环外是南非）；把球面切两刀后，是四个三面互邻的“三面体”，有三个面，用三种颜色（这也是地图中的一种比较特殊的情况，如一个海岛上只有两个国家的地图，如海地岛上只有海地和多米尼加两国，再加上一个海洋共三个区域）；“三面体”切去一个顶角后是一个四面体，四个面均两两相邻，需要四种颜色（这种相邻关的地图就多了，是“三国环一国”的地图，如我国的宁夏回族自治区的地图，其外有陕西、甘肃和内蒙古自治区三个区划环绕，就是这种地图）；“三面体”切去两个顶角后，是一个有五个面的三棱柱，有两个面不相邻，四种颜色也够了；把球面切三刀后是八个有四且两两面互邻的四面体，用四种颜色；把这个四面体再切去一个顶角后，则又是一个五面体，其中有两个三角形面是不相邻的，还是只用四种颜色；如果切出一个四棱锥体，也是一个五面体，其中有一个四边形面，有两对无公共边界线的三角形面，用三种颜色也够了；把这个四棱锥体的顶角再切去后，就是一个长方体（即六面体），有三对不相邻的四边形面，三种颜色也够了；切出的多面体的面数无限增加，以至无穷时，四种颜色也就够用了。
因为以上这些多面体，所用的颜色数都是不会大于4的，所以王旭龙就认为这就证明了四色猜测是正确的。其实，这不叫证明，这只能叫着色（操作）。因为你所用的多面体的面数还不太多，你可以用四种颜色染下来。如果面数很多，且各面的边数不只是三条、四条，各顶点所连的棱数也不只是三条、四条时，你能用四种颜色染下来吗？你恐怕就回答不了了。所以说你这样的证明方法是不可能证明四色猜测的，因为你无法把所有的多边形都着色一遍，即就是能着色一遍，也不能保证你对每一个多面体的染色都是正确的。这其中说不定就有不能用四种颜色染色的多面体，却让你染成了四种颜色。这一点你能保证吗？
王旭龙还说：现在企图证明四色猜测的人总想找到一个不用第五种颜色不行的多面体，来对四色猜测进行否定。我认为这种看法也是错误的。想找一个要用五种颜色的地图并不是那么容易的事，其中也存在着可能染错的问题。也可能染色者认为的要用第五种颜色的地图是他染错了色的地图。
2、一个成功的反例的例子：
虽然说找反例是对原命题进行否定的好办法，但反例的确也不是容易找到的。有没有成功的例子呢，也有，如1890年的赫渥特图。但这并不是对四色猜测的反例，而是对坎泊的证明方法的反例（在当时赫渥特和坎泊两人却都没有对赫渥特图进行4—着色）。因为坎泊在证明四色猜测时，把与赫渥特图有同样特征的一系列的图全部遗漏了。用坎泊的方法只能证明通过使用他的颜色交换技术，可以从围栏顶点中空出某一种颜色给待着色顶点的构形是可约的，而并不能证明用同样的技术不能从围栏顶点中空出任何颜色的构形是可约的。最根本的问题是，坎泊当时根本就不知道还存在这样的构形，他怎么能找出解决这种构形的办法呢？而且正好赫渥特图的这种构形就是坎泊所遗漏了的一类构形。但这种构形并不是不可约的，而是可以通过另外的交换办法，可以从围栏顶点空出一种颜色给待着色顶点的可约构形。所以说找不可避免的构形集也是一项细致的工作，一定要完备，不能遗漏。只要不可避免的构形在各种情况下都是可约的了，四色问题就得到了证明是正确的了。
3、不可免构形的可约性：
有不可避免的构形，也就有可以避免的构形，这是构形最初的两大类。可以避免的构形因其待着色顶点的度大于等于6，着色时可以不把待着色顶点安排在其上（只把待着色顶点安排在度是小于等于5的顶点之上），而可以不去研究它。剩下的就只对不可避免的构形进行各级分类了。一级一级分，第一级也只能分两类，非此即彼，不可遗漏，保证完备性。直到分出的两类都是可约的构形时，多级分类工作就结束了。根据我们的研究，已得出各级分类出来的各种不可避免的构形都是可约的，这就证明了四色猜测是正确的。这里并没有对所有的图进行着色，也不是在找反例。而是用不可避免的有限的构形的可约性去代替对无穷多的所有图的着色。也并不是全部否定了坎泊的证明，而是仍用了坎泊的颜色交换技术，对坎泊证明时所遗漏了的一系列构形，进行了可约性的补充。1879年坎泊证明了是可约的构形叫坎泊构形（K—构形），140多年后的今天我们证明了是可约的另一系列构形就叫赫渥特构形（H—构形），两类构形都是平面图不可避免构形分类中的同一级分类的两个类别。
4、坎泊的交换方法只能解决K—构形的可约性：
为什么都是用同样的颜色交换技术，坎泊就只能解决K—构形的问题，而不能解决H—构形的问题？而我们现在却可以做到呢？这就只能怪坎泊当时把赫渥特图一类不可避免的H—构形遗漏了。在发生了颜色冲突（围栏顶点占用了四种颜色）的5—轮构形中，围栏顶点中一定有一种颜色是用了两次的。人们在着色中，一般都是想把用了一次的颜色移去，而只有在别的三种颜色都不能移去时，才考虑移去两个同色的。在BAB型的5—轮颜色冲突构形中，只有A—C链和A—D链分别连通时，A、C、D才都不能移去。但坎泊只想到了A—C链和A—D链都连通且不交叉的情况，而没有想到两链在连通的情况下还是可以相交叉的情况。当两链不交叉时，就阻碍了B—D链和B—C链的分别连通，既然B—C链和B—D链均不连通，那么连续的移去两个B一定是可以办到的，问题就得到了解决。但当两链又相交叉时，则是不能连续的移去两个同色的（见下一个问题）。请记住，解决K—构形时，使用颜色交换技术是从围栏顶点形始的，交换的是围栏顶点的对角链。
5、H—构形的解决同样用的是颜色交换技术：
而赫渥特图中的A—C链和A—D链不但是连通的而且是相交叉的（因为两链是有一种颜色相同的相邻链，是可以相互穿过的），也阻碍了B—D链和B—C链的分别连通。这时我们要若先移去了一个B时，图中就新生成了从另一个B到其对角顶点的连通链，使得不能连续的移去另一个同色B。当时坎泊和赫渥特为什么都不能对赫渥特图进行4—着色呢？就是因为他们还没有发现这里的A—C链和A—D链不但是连通的，而且还是交叉的。他们只知道H—图是不能从围栏顶点中空不出颜色的，而不知道为什么空不出。所以就认为坎泊的证明是错的，进行了否定。而坎泊也就承认自已“弄错了”。其实坎泊的证明思路和方法还是正确的，只是其得到的不可避免构形集是不完备的。现在我们把不可免集补充完善，把坎泊没有解决的构形继续解决就可以了。
6、解决H—构形与K—构形使用颜色交换技术时的方法不同
朋友们也请注意，我们在解决H—构形这一类构形时，在用颜色交换技术时，不光是只从围栏顶点开始的，也有从非围栏顶点开始的，不光是交换对角链，也有交换邻角链的。这样做的目的是为了使H—构形中的双环交叉链A—C和A—D断开，因为双环交叉链是构成H—构形的必要条件。虽然有了它，不一定就是H—构形，也不一定不能连续的移去两个同色，但没有它就一定不是H—构形而是可约的K—构形。只要把构形转化成了非H—构形的K—构形，问题也就一定能解决了。

雷  明
二○二二年六月二十三日于长安

雷明85639720

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