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本帖最后由 elim 于 2022-7-2 08:08 编辑
不要以为擅自给出某定义以支持自己的见解是严谨的, 合乎数理逻辑的作法。定义需要相应的模型支持。
jzkyllcjl 的自然数定义的模型在哪里？没有模型(构造)凭什么认为这个定义有起码的自洽性？
现在来看复数域的构造：
对 \((a,b),(c,d)\in\mathbb{R}^2\) 定义加法 \((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\),
乘法 \((a,b)\times(c,d)=(ac-bd, ad+bc)\) . 容易验证
\(\mathbb{R}^2\) 关于 \(+\) 成 Abel (交换)群.
其幺元是\(\,(0,0),\;(a,b)\) 的加法逆是\(-(a,b)=(-a,-b);\;\)
\(\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}\) 关于\(\times\)成 Abel群.
其幺元是\(\,(1,0),\;(a,b)\) 的乘法逆是\((a,b)^{-1}=({\small\dfrac{a}{a^2+b^2},\dfrac{-b}{a^2+b^2}});\;\)
依次简记\((0,0),\,(1,0),\,(0,1)\)为 \(0,\,1,\,i\), 则\(\,(a,b)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi\)
易见 \(i^2=(0,1)\times(0,1)=(0-1,0+0)=(-1,0)=-1\)
并且 \(\mathbb{R}^2\) 关于所论加法，乘法成为数域。叫作复数域，记作\(\mathbb{C}\)
称其元数为复数，依次称\(1,\,i\) 为实,虚部单位.
复数的加法遵循平行四边形法则.
对于\(\,a+bi\ne 0\) 存在实数\(\,r(>0),\,\theta\)(模,幅角)使\((a,b)=r(\cos\theta,\sin\theta)\)
据复数的乘法定义及正弦余弦函数的和角公式,
\(r(\cos\theta,\sin\theta)\times R(\cos\eta,\sin\eta)=rR(\cos(\theta+\eta),\sin(\theta+\eta))\)
即二复数之积的模等于乘数的模的积，幅角等于乘数的幅角之和.
复数的模\(r=\sqrt{a^2+b^2},\,\)幅角\(\hspace{-3pt}\mod(2\pi)\) 是唯一的.
不难对\(\mathbb{R}^2\)定义序关系。但复数域的任何序不能使它成为有序域：
若不然，易见必有 \( c\ne 0\implies c^2>0\) 于是 \(1>0,\;\) 且 \(-1=i^2 >0\),
进而由有序域的序公理\(a,b>0\implies a+b>0\)得 \(0=1+(-1)> 0\)。矛盾 |
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发表于 2022-7-2 10:33
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