求 5 次方程 x^5-x^4-1=0 根式解

elim

题： 解方程 \(x^5-x^4-1=0\)

解： \(x^5-x^4-1 = x^5+x^2-(x^4+x^2+1)\)
\(\quad =(x+1)x^2(x^2-x+1)-(x^2+x+1)(x^2-x+1)\)
\(\quad = (x^2-x+1)(x^3-x-1)\)
\(\therefore\displaystyle \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2},\;\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{27-3\sqrt{69}}{2}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2}(9+\sqrt{69})}}{3^{2/3}},\)
\(\quad\displaystyle -\frac{1\pm i\sqrt{3}}{6}\sqrt[3]{\frac{27-3\sqrt{69}}{2}}-\frac{(1\mp i\sqrt{3})\sqrt[3]{\frac{1}{2}(9+\sqrt{69})}}{2\times 3^{2/3}}\)
\(\quad\)是所论方程的解.

elim

注记： 一般五次及五次以上代数方程没有根式解。但有根式解的方程的次数绝不限于4次和4次以下.

luyuanhong

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llshs好石

elim 发表于 2022-7-8 06:13
注记： 一般五次及五次以上代数方程没有根式解。但有根式解的方程的次数绝不限于4次和4次以下.

本民科对注记有异议。

注记应改为： 一般五次及五次以上代数方程没有统一根式解公式。但都可以根式求解。