1/ln(X)的极限

yangchuanju · 发表于 2022-7-11 06:58

素数个数及积分值对照表
（10^24-10^29仅提供素数个数真实值）
  x                pi(x)                   li(x)
1d01                   4                   6.165...
1d02                   25                   30.126...
1d03                   168                   177.609...
1d04                1229                1246.137...
1d05                9592                9629.809...
1d06                78498                78627.549...
1d07                664579                664918.405...
1d08             5761455             5762209.375...
1d09             50847534             50849234.957...
1d10             455052511             455055614.586...
1d11          4118054813          4118066400.621...
1d12          37607912018          37607950280.804...
1d13          346065536839          346065645810.050...
1d14       3204941750802       3204942065691.953...
1d15       29844570422669       29844571475287.581...
1d16       279238341033925       279238344248556.792...
1d17    2623557157654233    2623557165610821.778...
1d18    24739954287740860    24739954309690415.022...
1d19    234057667276344607    234057667376222382.223...
1d20 2220819602560918840 2220819602783663483.548...
1d21 21127269486018731928 21127269486616126182.333...
1d22  201467286689315906290  201467286691248261498.150...
1d23 1925320391606803968923 1925320391614054155138.780...
24 18435599767349200867866
25 176846309399143769411680
26 1699246750872437141327603
27 16352460426841680446427399
28 157589269275973410412739598
29 1520698109714272166094258063

yangchuanju · 发表于 2022-7-11 06:59

小于10^n的素数个数及对数计算值、积分值对照表
（比值=计算值/真实值，对数计算值为素数定理X/ln(X)之值）
n 素数个数对数计算值比值1 积分值Li 比值2
1 4 4.342944819 1.085736205 6 1.5
2 25 21.7147241 0.868588964 30 1.2
3 168 144.7648273 0.861695401 177 1.053571429
4 1229 1085.736205 0.883430598 1246 1.013832384
5 9592 8685.889638 0.905534783 9629 1.003857381
6 78498 72382.41365 0.922092457 78627 1.001643354
7 664579 620420.6884 0.933554458 664918 1.000510097
8 5761455 5428681.024 0.94224133 5762209 1.00013087
9 50847534 48254942.43 0.949012442 50849234 1.000033433
10 455052511 434294481.9 0.954383223 455055614 1.000006819
11 4118054813 3948131654 0.958737033 4118066400 1.000002814
12 37607912018 36191206825 0.962329597 37607950280 1.000001017
13 3.46066E+11 3.34073E+11 0.965345123 3.46066E+11 1.000000315
14 3.20494E+12 3.1021E+12 0.967912581 3.20494E+12 1.000000098
15 2.98446E+13 2.8953E+13 0.970125053 2.98446E+13 1.000000035
16 2.79238E+14 2.71434E+14 0.97205151 2.79238E+14 1.000000012
17 2.62356E+15 2.55467E+15 0.973744146 2.62356E+15 1.000000003033
18 2.474E+16 2.41275E+16 0.975243161 2.474E+16 1.000000000887
19 2.34058E+17 2.28576E+17 0.976580027 2.34058E+17 1.000000000427
20 2.22082E+18 2.17147E+18 0.977779738 2.22082E+18 1.000000000100
21 2.11273E+19 2.06807E+19 0.978862395 2.11273E+19 1.000000000028
22 2.01467E+20 1.97407E+20 0.979844351 2.01467E+20 1.000000000010
23 1.92532E+21 1.88824E+21 0.980739043 1.92532E+21 1.000000000004
24 1.84356E+22 1.80956E+22 0.981557619 —— ——
25 1.76846E+23 1.73718E+23 0.982309404 —— ——
26 1.69925E+24 1.67036E+24 0.983002257 —— ——
27 1.63525E+25 1.6085E+25 0.983642852 —— ——
28 1.57589E+26 1.55105E+26 0.984236889 —— ——
29 1.5207E+27 1.49757E+27 0.984789268 —— ——

yangchuanju · 发表于 2022-7-11 07:03

素数出现率与几率
按照愚公688先生的定义，自然数X以内的素数个数π(X)与X之比称之为“素数出现率”；
另将按素数定理X/ln(X)计算所得数值与X之比称之为“素数发生率”，亦即“素数几率”。
由于[X/ln(X)]/X=1/ln(X)，故一般认为素数几率约等于1/ln(X)。

从上表如有看到，在有限的自然数X范围内，按素数定理所得素数个数（对数计算值）都小于素数个数真实值（X=10除外）；
素数个数积分值都大于素数个数真实值；
当X趋近于无穷大时，三者应该逐渐接近或相等。

yangchuanju · 发表于 2022-7-11 07:03

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-7-11 09:33 编辑

纯数学意义上的1/ln(X)的极限
撇开1/ln(X)的数理意义，从纯数学角度论，当X趋近于无穷大时，1/ln(X)趋近于无穷小（或0）无可非议！

由于用1/ln(X)表示素数几率时，它小于“素数出现率”，真正的素数几率要略大于1/ln(X)；
当X趋近于无穷大时，素数几率究竟等于多少，仍作为一个未知数看待；
在此不愿再与愚公先生进行争辩。

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