使用坎泊的颜色交换技术时应遵守的原则和条件

雷明85639720

使用坎泊的颜色交换技术时应遵守的原则和条件
雷  明
（二○二二年七月十四日）

颜色交换技术是证明四色猜测的第一人坎泊在1879年创造的。他把用两种颜色交替着色的道路叫做色链，简称链，是二色的。若要改变链中某一个顶点的颜色时，把该链中各顶点的颜色全部交换一次就可以达到目的。这就是坎泊的颜色交换技术。从1879年开始到现在，我们无论是在着色时或是在证明时都还在使用着。
1、坎泊在证明可以从围栏顶点中空出某一种颜色给待着色顶点着上的K—构形是可约时，所用的颜色交换技术一定是含有围栏顶点参与的交换，且交换的链一定是在交换开始的顶点与其他任何对角围栏顶点间都是不连通的对角链。否则是不可能从围栏顶点中空出颜色来的。
2、而我们目前证明不可以从围栏顶点中空出任何一种颜色给待着着色顶点着上的H—构形转化为可约的K—构形时，所用的颜色交换技术，却不一定都要有栏顶点的参与。若有围栏顶点参与时，一定交换的是非环形的邻角链。这一交换，H—构形就直接转化成了可约的K—构形了。再用解决K—构形的办法去解决。
3、我们目前解决的H—构形的可约性问题，是坎泊当年证明四色猜测时所遗漏了的5—轮颜色冲突构形中的一种构形，我们的工作也正是在弥补当年坎泊证明之不足。H—构形是可约的了，四色问题也就完全、彻底的解决了。
4、可空出颜色的交换中所交换的链，实际上是在某一条不连通的链中进行的，所交换的链是被与其相反的连通链与待着色顶点构成的环所包围的。也可以说是在该环的一侧进行的。只所以叫可空出颜色的交换，是因为该交换后，围栏顶点所占用的颜色数就会减少一种，把空出来的一种颜色给待着色顶点着上即可。而在解决H—构形转化为K—构形中所用的不可空出颜色的交换中所交换的链，则是在另一条环形的相反链环中进行的，也可以说是在该链环的一侧进行的。这种交换叫断链交换，因为该交换后，图中就不存在双环交叉链了。没有了双环交叉链，构形也就一定是可约的K—构形了。

5、在解决无经过围栏顶点的环形链的H—构形时采用对角链交换的转型法，使构形转化成可约的K—构形时，或者在解决发生了颜色冲突的K—构形的可约性时，都会用到对角链的交换，也都可能会遇到如图1的情况。无论是从右B开始交换B—C链，还是从左B开始交换B—D链，都存在着两条控制线（见图1），图中分别有两条A—D线与待着色顶点V构成的环和两条A—C线与待着色顶点V构成的环。这时，应该怎么进行交换呢？交换到那里结束呢？
6、我的交换结果如图2。理由是，一是颜色交换技术本来就是在链内进行交换的，不能交换到链外去；二是真正的控制线是实线环，而不是虚线环。因为只有两个顶点B和C是控制在两条A—D环之内的，而另一个C点则是一个不确定的顶点，它对于虚线A—D环来说，是在其内，但对于实线A—D环来说，则又是在其外。所以交换的顶点只能是两个顶点，而不能是三个顶点。
7、但按张彧典先生的做法则是如图3所示。交换了三个顶点，把左侧的C也换成了B。这是不对的。
8、我在构造两个从两个方向转型都需要十次以上的转型的构形时，我专门还问了张先生，要他审查我的转型操做有没有错误，他回答说，操作是对的，无误。这就说明我得出的结论是正确的，即我所构造的图的转型次数是有限的，图也不是E—族构形。但后来张先生又说，还可以把左边的C也换成B，说该顶点也是在大A—D环之内的。并说样交换的结果，该构形就是一个周期循环转型的构形了，是E—族构形形。
9、我的按张先生的说法也进行了操作，发现转型到了20次时，该构形的确是出现了循环的现象，图也反回到最初的原始状态。但我仍认为张先生的这种交换方法是错误的。把一个本来不是E—族构形的构形认为是E—族构形，使一个可以用有限次的转型可以解决问题的构形，反倒成了不能用转型法解决问题的构形了。
10、既已说到了这里，我还得再说一次，什么是十折对称，要有一个严格的判别方法。你这样经过了转型操作后，再确定其是不是十折对称的方法，是要不得的。
   

雷  明
二○二二年七月十四日于长安

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