九本不同的书平均分三份；九本不同的书平均分给甲乙丙三人，算法一样么？为什么？

wufaxian

请看下图，第一问算法对应的是“ 九本不同的书平均分给甲乙丙三人”。但是我在课上听老师讲“ 九本不同的书平均分三份”对应的算法要在图中红线的基础上“除序”。因此要除以\(A_{3 }^{ 3}\)。为什么只分三份就需要“除序”，而分配给三个不同的人就不需要“除序”？

fungarwai

九本不同的書平均分三份，其中一種分法是
第一、二、三本書一份，第四、五、六本書一份，第七、八、九本書一份
甲可能拿第一、二、三本書，可能拿第四、五、六本書，可能拿第七、八、九本書
於是同一份書給了不同人就有3!個不同結果
如果只是“ 九本不同的書平均分三份”就不會得到3!個不同結果

wufaxian

自问自答：

假设ABCD四本书平均分成两堆，一共有几种分法。\(\frac{C_4^2C_2^2}{A_2^2}\)  ,问题在于为什么要除以\(A_{2 }^{2 }\) ？因为分子的算法会对“两堆”自动排序。分子等于6，包括以下6种情况：
AB   CD
AC   BD
AD   BC
BC    AD
BD    AC
CD    AC

平均分成两堆，两堆应该是无序的。但是你会发现分子的算法会包含3种重复的分法。为什么会造成这种情况呢？不是说组合不包括排序么？为什么组合*组合的结果会出现自动排序呢？

    组合算法不自动排序提现在“堆内”，即\(C_{4 }^{2 }\)  选出的第一堆是无序的。即AB 和BA 会被认为是重复的结果。组合算法会将这两种情况认定为一种情况，不会重复计数。但是\(C_{4 }^{2 }\)  还是将AB、AC、AD、BC、 BD、CD视作不同的组合。因为两堆是“平均”分组（平均分组造成两组事实上应该是无序的），这样就会造成重复计数（见上方红色的两堆）。因此\(C_4^2\cdot C_2^2\)  会自动造成组间排序的情况。要消除这种组间排序导致的重复计数的情况。就要再除以\(A_{2 }^{2 }\)  。

    根据以上对重复计数发生原因的分析。可以很容易得出以下结论：
1、假设ABCDEF六本书 平均分成3组，那么分子要除以\(A_{3 }^{ 3}\)  ，如果是分成3组，第一组四本，后两组各两本。那么应该是\(\frac{C_6^4C_4^2C_2^2}{A_2^2}\)  因为重复分组只会发生在最后两组之间，但是第一组因为是4本书，所以不会和第二组或第三组出现排序问题。

    其次，如果题目说 ABCD四本书 平均放进1、2两个框里。那么这种情况直接用\(C_4^2C_2^2\) 就可以了。因为这时候1、2两个框是有差别的，因此本身就要求有序，即第一个框装AD，第二个框装BC  与   第一个框装BC，第二个框装AD是不一样的情况。需要单独计数，因此无需在分母除以\(A_{2 }^{2 }\)

具体到上面这个问题。第一问由于是均分三份，且甲乙丙三人是有差别的。所以第一问不用除以\(A_{3}^{3 }\) .  但是第二问，由于不是均分，所以已经自动“除序”了。但是甲乙丙三个人，谁拿4本书，谁拿3本书，谁拿两本书。涉及到排列问题。所以还要再\(A_{3 }^{3 }\) 排列一次。